Невероятно – не факт

Китайгородский Александр Исаакович

– Выходит, я час тебя буду ждать?

– Я и говорю: встретимся на месте.

– Не хочу.

– Тогда предлагаю компромиссное решение. Оба приходим между 17.40 и 18.40. И ждём не более двадцати минут.

– А если ты придёшь в 18.00, а я в 18.30?

– Значит, я буду уже в зале.

– Да так мы никогда не встретимся на улице.

– Вероятность встречи довольно значительная. Хочешь, подсчитаю?

– Да не берись за карандаш, горе ты моё. И надо было влюбиться в математика…

Я, конечно, был бы рад продолжить рассказ о радостях и горестях влюблённых математика и девушки, далёкой от

чисел и интегралов. Тут бездна интересных психологических моментов. Но увы! Тема книги вынуждает вернуться к «сухой» науке.

Как же действительно подсчитать вероятность встречи математика с его любимой? Мы уже выяснили, что вероятность – это отношение числа благоприятных случаев к общему числу событий. А здесь как быть? Ведь встреча может состояться или не состояться в любой момент часового интервала.

Благоприятным исходом рассматриваемой задачи является мгновение встречи. Но мгновений бесконечно много. Ведь часовой интервал я могу разбить на минуты, на секунды и даже на микросекунды. Значит, здесь бесконечное число исходов, а не два, как в опыте с монетой, и не шесть, как в опыте с кубиком (игральной костью). Как же определяются вероятности в задачах такого рода? Оказывается, геометрическим путём. А поскольку геометрия требует наглядности, нам придётся прибегнуть к нехитрому рисунку.

Отложим по горизонтали время прибытия девушки на свидание. На вертикальной прямой отметим минуты появления нашего героя. Если бы не было условия – ждать не более двадцати минут, то встреча могла бы произойти в любой точке квадрата, обнимающего часовые ожидания. При наличии же дополнительного условия моменты встречи попадут в заштрихованную область. Пожалуйста, проверяйте.

Девушка пришла без двадцати шесть. Встреча состоится, если кавалер явится до шести. Этому соответствует первый отрезок.

Девушка пришла в 18.00. Встреча состоится, если кавалер явится от 17.40 до 18.20. Такой встречи соответствует второй отрезок, построенный на рисунке.

Если девушка пришла в 18.20, то встреча состоится при условии, если математик явится к продуктовому магазину между 18.00 часами и крайним сроком – 18.40. Вот вам третий отрезок.

Теперь ещё одна точка, и заштрихованная область будет готова: девушка успела прибежать на свидание в 18.40. Она застанет своего возлюбленного, если он явился не раньше 18.20.

Что же дальше? Где же искомая вероятность? Нетрудно догадаться, что она будет равняться частному от деления площади заштрихованной области на площадь всего квадрата.

По сути дела, определение вероятности остаётся тем же – благоприятные варианты относятся ко всем возможным. Но если ранее мерой было число случаев, то теперь мерой является площадь на графике.

Два незаштрихованных треугольника образуют квадрат со стороной, соответствующей 40 минутам. Его площадь 40. Таким образом, искомую вероятность получим, поделив (3600-1600) на 3600. Итого 5/9.

Будем надеяться, что математик встретится со своей девушкой.

Применение теории вероятностей к событиям с непрерывным рядом исходов намного расширяет её возможности.

Одной из исторически первых

задач такого рода была проблема, поставленная и решённая французским естествоиспытателем XVIII века Бюффоном.

На большом листе бумаги начерчен ряд параллельных линий. Наобум бросается игла, длина которой много меньше расстояния между линиями на бумаге. Игла может пересечь одну из линий, а может очутиться и между линиями. Надо оценить вероятность того, что пересечение произойдёт.

Предполагается, что центр иглы с равной вероятностью может попасть в любое место бумажного листа. Так же точно считается, что угол наклона иглы к начерченным линиям может принять какое угодно значение. Если игла попадёт на середину между линиями, то она не пересечёт линии, как бы она ни оказалась повёрнутой. Если же центр иглы очутился вблизи линии, то пересечение не произойдёт, если игла установится параллельно линии или около того, и напротив, игла пересечёт линию, если образует угол, близкий к прямому. Получается так: чем ближе к линии попадёт центр иглы, тем больше вероятность её пересечения.

Задача может быть решена без всякой математики. Попробуйте свои силы.

Треугольник Паскаля

Однажды я медленно шёл по Парижу, разглядывал витрины магазинов и читал вывески. Цветастая надпись над входом грязновато-серого здания настойчиво приглашала зайти и попытать счастья. Я удивился, что игорный дом работает среди бела дня, – это не соответствовало сведениям, почерпнутым мною из классической литературы – и… я зашёл. Взору представилась поразительная картина: десятки людей стояли лицом к стене, и перед каждым находился цветной ящик. Подойдя ближе, я увидел, что они либо нажимали кнопку, либо дёргали за ручку, будто заводя заглохший лодочный мотор.

Через несколько минут я понял, в чём дело: люди играли с автоматами. Зрелище это неприятное, но великолепное поле для наблюдений психолога. Человек играет с судьбой. Один на один. Все побочные обстоятельства отсеяны. Нет ни соперничеств, ни личной неприязни, ни необходимости скрывать свои чувства.

Есть автоматы, у которых вы можете выиграть только конфетку или сигареты, есть такие, которые играют на деньги, и, наконец, существует возможность наслаждаться игрой безгранично, вступив в единоборство с автоматом, выигрыш у которого даёт лишь право дальнейшей игры. Бессмысленно, не правда ли? Но вот так оно есть. Эти автоматы вы можете найти в любом баре, в любом кафе любого города Америки и Западной Европы.

В чём же состоит игра? В принципе она сводится к следующему. Выпускается на волю шарик, который под действием силы тяжести или щелчка пружины движется по доске, на которой установлены препятствия. От каждой преграды шарик может отскочить куда попало. Получив несколько десятков таких случайных щелчков, шарик добирается до дна ящика и успокаивается в каком-то положении.

В зависимости от формы преград и от того, как они установлены, разные места дна ящика будут достижимы в различной степени. Определив из многочисленных опытов значения вероятностей окончания путешествия шарика в том или ином конечном пункте, нетрудно построить правила игры, которые позволят автомату уверенно обыгрывать своего живого партнёра.