Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Пенроуз Роджер

Мы можем также переписать последнюю теорему Ферма при помощи A _к.о.:

A _к.о. , х , у , z [~ ( х + 1 ) ⁺³ + ( у + 1 ) ⁺³ = ( z + 1 ) ⁺³ ],

которое

будет читаться следующим образом (заканчивая символом « не» после левой квадратной скобки):

« Для любых натуральных чисел , х, у, z не может быть выполнено… »,

что логически эквивалентно написанному ранее.

Нам понадобятся еще и буквы, обозначающие целые утверждения, для чего я буду использовать заглавные буквы Р , Q , R , S … Таким утверждением может, к примеру, служить и вышеприведенная теорема Ферма:

F = ~ E _к.с. , х , у , z [( x + 1 ) ⁺³ + ( у + 1 ) ⁺³ = ( z + 1 ) ⁺³ ].

Утверждение может также зависеть от одной или более переменных; например, нас может интересовать формулировка теоремы Ферма для некоторого конкретного [71] значения степени + 3

G ( ) = ~ E _к.с. x , y , z [( x + 1 ) ⁺³ + ( y + 1 ) ⁺³ = ( z + 1 ) ⁺³ ],

71

Хотя справедливость теоремы Ферма в обшем случае пока не доказана, ее справедливость для некоторых частных случаев, таких как G(0), G(l), G(2), G(3), доказана вплоть до G(125 000). Другими словами, доказано, что куб никакого числа не может быть суммой кубов двух других положительных чисел, четвертая степень числа не может быть суммой четвертых степеней других чисел и т. д. вплоть до степени 125000. (Несколько лет назад теорема Ферма была доказана в обшем виде. См. гл. 2 «Неразрешимость проблемы Гильберта» примечание 51 — Прим. верст. fb2)

так что G ( 0 ) утверждает, что «куб не может быть суммой кубов положительных чисел»; G ( 1 ) говорит о том же применительно к четвертым степеням и так далее. (Обратите внимание на отсутствие после символа E _к.с. ). Тогда теорема

Ферма гласит, что G ( ) выполняется для любого :

F = A _к.о. [ G ( )].

G является примером так называемой функции исчисления высказываний, т. е. утверждением, которое зависит от одной или более переменных.

Аксиомынашей системы будут представлять из себя перечень утверждений общего характера, чья справедливость в рамках принятого символизма предполагается самоочевидной. Например, для произвольных утверждений или функций исчисления высказываний Р , Q , R мы могли бы указать среди прочих аксиом системы такие, как

( P&Q ) => Р ,

— ( ~ Р ) <=> Р ,

— E _к.с. х [ R ( x )] <=>A _к.о. x [ ~ R ( x )],

«априорная истинность» которых уже заключена в их смысловых значениях. (Первое утверждение означает лишь, что «если выполняется Р и Q , то выполняется и Р »; второе устанавливает равносильность утверждений «неверно, что не выполняется Р » и « Р выполняется»; а третье может быть проиллюстрировано эквивалентностью двух способов формулировки теоремы Ферма, данных выше.) Мы можем также включить основные аксиомы арифметики:

A _к.о. х, у [ х + у = у + х ],

A _к.о. х , у , z [( x + у ) х z = ( x х z ) + ( у х z )],

хотя некоторые предпочитают определять арифметические операции через более простые понятия и выводить вышеуказанные утверждения как теоремы. Правила выводамогут вводиться в виде (самоочевидных) процедур типа

«Из Р и Р => Q следует Q ».

«Из A _к.о. x [ R ( x )] мы можем вывести любое утверждение, получающееся путем подстановки конкретного натурального числа x в R ( x )».