Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики
Шрифт:
Однако, без этой теоремы могло бы сложиться впечатление, что интуитивные понятия «самоочевидность» и «смысл» могли бы быть использованы только в самом начале раз и навсегда, просто чтобы изначально задать формальную систему, а затем мы могли бы отказаться от них при построении строгого математического доказательства для определения истины. Тогда, в соответствии с формалистскими воззрениями, эти «расплывчатые» интуитивные понятия задействовались бы только в «предварительных» размышлениях математиков, направленных на отыскание подходящего формального доказательства; а потом, когда дело дойдет до определения математической истины, они уже не играли бы никакой роли. Теорема Геделя демонстрирует, что такой подход в действительности не является логически состоятельным в рамках фундаментальной философии математики. Понятие математической истины выходит за пределы всей теории формализма. В этом понятии есть нечто абсолютное и «данное свыше». И это как раз то, о чем трактует математический платонизм, обсуждаемый в конце предыдущей главы. Всякая формальная система имеет свойство сиюминутности и «человеко-зависимости». Такие системы, безусловно, играют очень важную роль в математических рассуждениях, но они могут указывать только частично верное (или приблизительное) направление к истине. Настоящая математическая истина выходит за пределы сотворенного человеком.
Платонизм или интуиционизм?
Я указал две противостоящие друг другу школы математической философии, решительно причисляя себя более к платонистскому, нежели к формалистскому воззрению. В действительности же я применил довольно
Есть также отличие в том, насколько далеко в своем платонизме готов зайти человек, провозглашающий свою принадлежность к этой школе. Сам Гедель был глубоко убежденным платонистом. Математические выражения, которые я до сих пор рассматривал, являют собой довольно «мягкие» примеры того, что может встретиться в этом направлении! [77] . Вполне возможны и более «запутанные» выражения, особенно в теории множеств. Когда рассматриваются все мыслимые ответвления этой теории, то порой возникают множества столь громадные и причудливо сконструированные, что даже такой весьма убежденный платонист, как я, может начать сомневаться в абсолютности их существования (или, напротив, несуществования) [78] . Может наступить момент, когда определения множеств становятся настолько сложными и концептуально шаткими, что вопрос об истинности или ложности относящихся к ним математических выражений становится скорее субъективным и зависящим от мнения исследователя, нежели «ниспосланным свыше». Готов ли иной математик безоглядно следовать вместе с Геделем путем платонизма, провозглашая истинность или ложность математических выражений, оперирующих подобными огромными множествами, всегда абсолютными (или «платонистскими») по своей природе; или же он, не заходя слишком далеко, будет говорить об абсолютности этих понятий лишь в том случае, если множества окажутся не слишком велики и довольно конструктивны. Ответ на этот вопрос не имеет большого отношения к нашей дискуссии. Множества (конечные или бесконечные), которые будут иметь для нас значение, по меркам вышеупомянутых множеств выглядят до смешного маленькими! Так что различия между разными платонистскими течениями нас волновать не должны.
77
Континуум-гипотеза, которая упоминалась в главе 3, (конец подглавы «Сколько же всего действительных чисел?», и из которой следует, что С= N 1), является наиболее «экстремальным» математическим утверждением, которое здесь встречается (хотя часто рассматриваются и куда более «экстремальные» рассуждения). Континуум-гипотеза интересна еще и потому, что сам Гедель, совместно с Полом Дж. Коэном, показал, что эта гипотеза в действительности не зависитот стандартных аксиом и правил теории множеств. Таким образом, отношение любого математика к континуум-гипотезе позволяет причислить его к сторонникам либо формалистской, либо платонистской точки зрения. Для формалиста данная гипотеза будет «недоказуемой», поскольку ее справедливость не может быть установлена или опровергнута, если опираться на стандартную (построенную Цермело и Френкелем) формальную систему, и, значит, не «имеет смысла» называть ее ни «истинной», ни «ложной». Однако, для убежденного платониста эта гипотеза является либо истинной, либо ложной, хотя какой именно — это можно установить только путем рассуждений некоторого нового типа, идущих еще дальше, чем использование геделевских утверждений для формальной системы Цермело — Френкеля. (Коэн [1966] сам предложил принцип рефлексии, который позволяет показать, что континуум-гипотеза — «с очевидностью ложна»!)
78
Живое и не слишком насыщенное техническими деталями изложение этой темы можно найти у Ракера [1984].
Имеются, однако, и иные точки зрения в математике, такие как интуиционизм (и финитизм ), которые, впадая в противоположную крайность, отказываются признавать существование каких бы то ни было бесконечных множеств [79] . Интуиционизм был основан в 1924 году датским математиком Лейтзеном Э. Брауэром как альтернативный ответ — отличный от предлагаемого формализмом — на парадоксы (типа расселовского), которые могут возникать там, где бесконечные множества используются слишком вольно в математических рассуждениях. Зачатки этого подхода прослеживаются еще во времена Аристотеля, который, будучи учеником Платона, тем не менее отвергал его взгляды на абсолютное существование математических сущностей и возможность рассмотрения бесконечных множеств. Согласно интуиционизму, существование множества (бесконечного, равно как, впрочем, и конечного) не может признаваться как свойство, изначально ему присущее, а только лишь как функция правил, по которым оно организовано.
79
Интуиционизм был назван так потому, что ему предназначалось служить отражением человеческой мысли.
Характерная черта интуиционизма Брауэра состоит в отрицании закона «исключенного третьего». Этот закон говорит о том, что отрицание ложности некоторого выражения эквивалентно утверждению истинности этого выражения. (Или в принятой символике: ~ ( ~ P ) <=> P , отношение, которое нам уже встречалось ранее.) Наверное, Аристотель был бы очень недоволен, столкнувшись с отрицанием настолько логически «очевидного» факта! С общепринятых позиций здравого смысла закон «исключенного третьего» может рассматриваться как самоочевидная истина: если утверждение о том, что нечто ложно, само неверно, то это нечто должно быть непременно справедливым! (На этом законе основана математическая процедура « доказательства от противного», упомянутой в прим. 53 подглавы «Неразрешимость проблемы Гильберта») Но интуиционисты считают допустимым отвергать справедливость этого закона. Основная причина здесь в том, что они занимают иную позицию по отношению к понятию существования, требуя, чтобы перед признанием существования математического объекта предъявлялось его конкретное (мысленное) построение. То есть, для интуиционалиста «существование» означает «конструктивное существование». В математическом доказательстве, использующем принцип «доказательства от противного», сперва выдвигается некая
80
Сам Брауэр начал размышлять в этом направлении, в частности, потому, что очень придирчиво и болезненно относился к «неконструктивности» доказательства своей теоремы из области топологии, «теоремы Брауэра о неподвижной точке». Эта теорема утверждает, что, если вы возьмете круг — то есть окружность вместе со всеми точками внутри нее — и будете непрерывно двигать его внутри области, где он находился изначально, то найдется по крайней мере одна точка круга, — называемая неподвижной точкой, — которая окажется точно там же, откуда она начала движение. Не ясно, где именно располагается эта точка, и может ли их быть несколько — теорема говорит только о существованиитакой точки. (Среди математических теорем существования, эта, на самом деле, носит довольно «конструктивный» характер. Примеры теорем существования более высокой степени неконструктивности - это теоремы, зависящие от так называемой «аксиомы выбора» или «леммы Цорна» (см. Коэн [1966], Ракер [1984]).) Трудность в случае Брауэра была аналогична той, что возникает в следующей задаче: найти точки, в которых f обращается в нуль, если известно, что f — действительная непрерывная функция действительной переменной, которая принимает как положительные, так и отрицательные значения. Стандартная процедура заключается в последовательном делении пополам отрезка, на котором функция меняет свой знак; но решение о том, какое именно промежуточное значение принимает функция (положительное, отрицательное или нулевое), может оказаться неконструктивным в том смысле, которого требует Брауэр.
По моему мнению, несмотря на похвальное стремление искать «конструктивное» решение вопроса о математическом существовании, интуиционизм, исповедуемый Брауэром, все же является слишком радикальным. Брауэр впервые опубликовал свои идеи в 1924 году, более чем за десять лет до работ Тьюринга и Черча. Теперь, когда понятие конструктивности — в терминах теории Тьюринга о вычислимости — может изучаться в общепринятых рамках математической философии, уже нет необходимости впадать в крайности, как к тому нас призывает Брауэр. Мы можем исследовать конструктивность как самостоятельный предмет, отдельный от вопроса математического существования. Если мы последуем путем интуиционизма, то будем вынуждены отказаться от использования очень мощных приемов доказательства в математике, заметно ограничивая и лишая силы сам предмет.
Я не хочу излишне подробно останавливаться на разнообразных трудностях и кажущихся абсурдностях, к которым приводит интуиционистский подход; но упоминание некоторых проблем может оказаться полезным. Один из примеров, к которому часто обращается для иллюстрации Брауэр, касается дробной части числа :
3,14152653589793….
Существует ли двадцать последовательных семерок где-нибудь в этой части, т. е.:
= 3,14152653…
…77777777777777777777…,
или же нет? В обычных математических терминах все, что мы можем сказать на сегодняшний день, это то, что они либо существуют, либо нет — и мы не знаем, какая из этих возможностей верна! Казалось бы, вполне безобидное утверждение. Однако правомерность утверждения «последовательность из двадцати семерок либо существует где-то в дробной части числа , либо нет» будет отвергаться интуиционистами до тех пор, пока не получится установить (некоторым приемлемым с точки зрения интуиционизма конструктивным образом), что такая последовательность действительно существует, или же что такой последовательности нет! Прямого подсчета было бы достаточно для того, чтобы доказать, что данная последовательность действительно существует в дробной части , но для доказательства невозможности ее существования потребовалась бы математическая теорема. Пока ни один компьютер не в состоянии просчитать дробную часть с такой точностью, чтобы определить наличие там искомой последовательности. Можно было бы, с вероятностной точки зрения, предположить ее существование, однако, даже если бы компьютер вычислял каждую секунду, скажем, по 10 10цифр, то для нахождения этой последовательности потребовалось бы предположительно от ста до тысячи лет. Мне представляется гораздо более вероятным, что существование такой последовательности будет однажды установлено скорее математически, чем путем прямых вычислений (возможно, как побочный результат более глобального и интересного исследования) — хотя не исключено, что это будет сделано неприемлемым для интуиционистов способом!
Данная проблема не имеет для математики особого значения и приведена лишь как наглядный пример. Брауэр, с позиций радикального интуиционизма, сказал бы, что в настоящее время утверждение «где-то в дробной части числа существует двадцать последовательных семерок» не является ни справедливым, ни ложным. Если когда-либо в дальнейшем будет установлен конкретный результат — посредством вычислений или путем (интуиционистского) математического доказательства — то тогда утверждение станет «истинным» или «ложным», соответственно. Сходный пример представляет собой и «последняя теорема Ферма». Вновь, согласно крайнему интуиционизму Брауэра, это утверждение не может быть сегодня признано ни ложным, ни истинным, но возможно, что его значение будет определено в будущем. По-моему, такая субъективность и «конъюнктурность» понятия математической истины просто неприемлема. Действительно, вопрос, будет ли — а если будет, то когда — официально признана «доказанность» некоторого математического результата, является весьма субъективным. Математическая истина не должна подчиняться такому «общественно-зависимому» критерию. Помимо этого, опираться на понятие математической истины, зависящее от времени — это, мягко говоря, наиболее неудобный и неудовлетворительный подход для математики, которую предполагается использовать для достоверного описания физического мира. Не все интуиционисты придерживаются таких радикальных взглядов, как Брауэр. И все же точка зрения интуиционистов является, бесспорно, крайне неудобной, даже когда она родственна идеям конструктивизма. Немногие современные математики строго исповедуют чистый интуиционизм, даже если бы единственной причиной этого была бы его ограниченность относительно типов математических рассуждений, которые он позволяет использовать.
Я коротко описал три основных направления в современной математической философии: формализм, платонизм и интуиционизм. Я не скрываю, что практически целиком отдаю предпочтение платонистской точке зрения, согласно которой математическая истина абсолютна и вечна, является внешней по отношению к любой теории и не базируется ни на каком «рукотворном» критерии; а математические объекты обладают свойством собственного вечного существования, не зависящего ни от человеческого общества, ни от конкретного физического объекта. Я попытался привести аргументы в пользу этой точки зрения в этом и предыдущем разделах, а также в конце третьей главы. Я надеюсь, что читатель готов следовать за мной и далее в этих рассуждениях, которые будут очень важны для понимания многих положений в дальнейшем.