Объясняя мир. Истоки современной науки
Шрифт:
В 1665 г. Ньютон начал размышлять о бесконечно малых величинах. Он задумался над задачей: предположим, что нам известно расстояние D (t), пройденное за время t. Каким образом можно найти скорость в любой момент времени? Ньютон рассуждал, что при неравномерном движении скорость в любой момент времени составляет отношение пройденного расстояния к затраченному времени в любой бесконечно малый интервал времени. Введя символ о для обозначения бесконечно малого интервала времени, он определил скорость за время t как отношение к o расстояния, пройденного в интервал времени между t и t + o, то есть скорость равна [D (t + o) – D (t)]/o. Например, если D (t) = t^3, тогда D (t + o) = t^3 + 3t^2o + 3to^2 + o^3.
252
Из-за пренебрежения членами 3to^2 и o^3 может показаться, что эти расчеты являются только приблизительными, но это неверно. В XIX в. математики научились обходиться без достаточно расплывчатого понятия бесконечно малой величины о и вместо этого стали говорить о точно определенных пределах: скорость – это число, к которому можно приближать функцию [D (t+o) – D (t)] / o настолько, насколько малым нам удобно брать значение o. Как мы увидим далее, Ньютон позже перешел от бесконечно малых величин к современной идее пределов.
Далее Ньютон заинтересовался проблемой нахождения площадей фигур, ограниченных кривыми. Его ответ представляет собой фундаментальную теорему математического анализа. Пусть надо найти такую функцию, флюксией которой является функция, представленная в виде кривой. Например, как мы уже видели ранее, y = 3x^2 – это флюксия функции y = x^3, поэтому площадь под параболой y = 3x^2 между х = 0 и любым другим х равна x^3. Ньютон назвал это «обратным методом флюксий», в современной математике это называется интегрированием.
Ньютон изобрел дифференциальное и интегральное исчисления, но долгое время эти работы не были широко известны. Только в 1671 г. он решил их опубликовать вместе со своей работой по оптике, но, очевидно, в Лондоне не нашлось книгоиздателя, который согласился бы на эту публикацию без солидной платы {253} .
В 1669 г. Барроу передал рукопись Ньютона «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» (De analysi per aequationes numero terminorum infinitas) математику Джону Коллинзу. Ее копию увидел во время своего посещения Лондона в 1676 г. философ и математик Готфрид Вильгельм Лейбниц, бывший ученик Гюйгенса, который был на несколько лет младше Ньютона и независимо от него открыл основную суть математического анализа годом ранее. В 1676 г. Ньютон описал некоторые из своих результатов в письмах, рассчитывая, что Лейбниц увидит эти письма. В 1684 и 1685 гг. Лейбниц опубликовал свою работу по математическому анализу в статьях, не ссылаясь на Ньютона. В этих публикациях Лейбниц ввел термин «математический анализ» и его современные обозначения, в том числе знак интеграла.
253
D. T. Whiteside. Op. cit. Vol. 3. Pp. 6–7.
Чтобы обозначить свои права на математический анализ, Ньютон описал свои собственные методы на двух листах, включенных в издание «Оптики» 1704 г. В январе 1705 г. в анонимном отзыве на «Оптику» было отмечено, что эти методы были заимствованы у Лейбница. Ньютон предполагал, что этот отзыв написал сам Лейбниц. Затем в 1709 г. в «Философских записках Королевского общества» вышла статья Джона Кейла, защищавшего приоритет Ньютона на это открытие. В 1711 г. Лейбниц ответил злобной отповедью в адрес Королевского общества. В 1712 г. Королевское общество собрало анонимный комитет для разрешения противоречия по этому вопросу. Два века спустя список членов этого комитета был рассекречен, и выяснилось, что он состоял практически целиком из сторонников Ньютона. В 1715 г. комитет пришел к решению, что математический анализ является заслугой Ньютона. План доклада по этому вопросу набросал для комитета сам Ньютон. Его заключения подкреплялись анонимным отзывом на доклад, автором которого также был он сам.
Современные ученые считают {254} , что Ньютон и Лейбниц открыли математический анализ независимо. Ньютон сделал это на десятилетие раньше Лейбница, но Лейбниц получил всю славу, опубликовав свою работу. Ньютон, напротив, единственный раз, в 1671 г. попытавшись найти издателя для своих заметок по математическому анализу, похоронил свою работу до тех пор, пока не был вынужден извлечь ее наружу, начав противостояние с Лейбницем. Чаще всего решение выйти на публику становится критическим моментом в процессе научного открытия {255} . Оно свидетельствует о том, что автор считает, что его работа верна и может быть использована другими учеными. Именно по этой причине сегодня заслуги за научное открытие достаются тому, кто первый его опубликует. Но, несмотря на то что Лейбниц был первым, кто опубликовал работы по математическому анализу, как мы увидим далее, именно Ньютон, а не Лейбниц, сумел приложить математический анализ к научным задачам. Хотя, как и Декарт, Лейбниц был великим математиком, чьи философские труды вызывают огромное восхищение, он не внес особого вклада в развитие естественных наук.
254
См.,
255
Peter Galison, How Experiments End (University of Chicago Press, Chicago, Ill., 1987).
Именно теории движения и притяжения Ньютона вызвали величайший, исторический переворот. Идея о том, что сила тяжести, которая заставляет предметы падать на землю, ослабевает при увеличении расстояния от Земли, зародилась еще в древности. Именно это предполагал еще в IX в. много путешествовавший ирландский монах Дунс Скот (Иоанн Скот Эригена), который, правда, никак не связывал эту силу с движением планет. Предположение о том, что сила, удерживающая планеты на их орбитах, ослабевает пропорционально квадрату расстояния от Солнца, возможно, впервые было сделано в 1645 г. французским священником Исмаэлем Буйо, который позднее был избран в Лондонское королевское общество и на которого ссылался Ньютон. Но именно Ньютон это доказал и связал силу с притяжением.
Пятьдесят лет спустя Ньютон описал, как он начал изучать притяжение. Хотя его заявления нуждаются в большом количестве разъяснений, я чувствую, что не могу не процитировать их, потому что именно в этих заявлениях Ньютон своими собственными словами описывает то, что стало поворотным моментов в истории цивилизации. Согласно Ньютону, это произошло в 1666 г., когда:
«…Я начал размышлять о притяжении, простирающемся до орбиты Луны и дальше (обнаружив, как оценить силу, с которой шар вращается внутри сферы и оказывает давление на поверхность сферы). Из закона Кеплера, согласно которому периоды обращения планет вокруг Солнца находятся в пропорции 3:2 с расстоянием от центров их орбит, я вывел, что сила, удерживающая планеты на их орбитах, должна аналогично соотноситься с квадратами расстояний от центра, вокруг которого они вращаются, с помощью этого сравнил Луну на ее орбите с силой притяжения на поверхности Земли и нашел, что они подходят очень хорошо. Все это [в том числе его работы по бесконечно малым числам и математическому анализу] было сделано за два “чумных” года, 1665 и 1666 гг. В те дни я был в расцвете моей эры изобретений и размышлял о математике и философии более чем когда-либо…» {256}
256
Цит. по: Richard S. Op. cit. P. 143.
Как я уже сказал, эти высказывания требуют некоторых разъяснений.
Во-первых, слова, которые Ньютон взял в скобки: «обнаружив, как оценить силу, с которой шар вращается внутри сферы и оказывает давление на поверхность сферы», относятся к расчету центробежной силы, который к тому времени уже был проведен Гюйгенсом – примерно в 1659 г. (возможно, Ньютон об этом не знал). Для Гюйгенса и Ньютона (как и для нас) ускорение имело более широкое определение, чем просто число, выражающее изменение скорости за прошедшее время; это имеющее направление количество, показывающее как изменение скорости за прошедшее время в определенном направлении, так и модуль скорости. При движении по окружности ускорение присутствует даже при постоянной скорости – это центростремительное ускорение, которое складывается из постоянного поворота в сторону центра окружности. Гюйгенс и Ньютон пришли к заключению, что тело, движущееся с постоянной скоростью v по окружности радиусом r, обладает ускорением v^2/r в сторону центра окружности, поэтому сила, необходимая для того, чтобы оно удерживалось на этой окружности и не улетало по прямой в окружающее пространство, должна быть пропорциональна v^2/r (см. техническое замечание 32). Сопротивление центростремительному ускорению Гюйгенс назвал «центробежной силой», которую тело испытывает, когда его раскручивают на конце веревки по кругу. Для этого тела сопротивление обеспечивается центробежной силой, которая проявляется в натяжении веревки. Но планеты не привязаны веревками к Солнцу. Что же тогда противостоит центробежной силе, испытываемой планетами при практически круговом движении вокруг Солнца? Как мы увидим далее, ответ на этот вопрос привел Ньютона к открытию обратной пропорции квадратов в законе тяготения.
Далее, в словах «из закона Кеплера, согласно которому периоды обращения планет вокруг Солнца соотносятся в пропорции 3:2 с расстоянием до центра их орбит» Ньютон говорит о Третьем законе Кеплера (как мы его сегодня называем) – квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы средних радиусов их орбит, или, другими словами, о том, что периоды пропорциональны степени 3/2 («пропорция 3:2») средних радиусов орбит {257} . Период вращения тела со скоростью v по окружности радиусом r равен длине окружности 2r, деленной на скорость v, поэтому для круговых орбит Третий закон Кеплера гласит, что отношение r^2 / v^2 пропорционально r^3, следовательно, их обратное отношение v^2/r^2 пропорционально 1/r^3. Из этого следует, что сила, удерживающая планеты на их орбитах, пропорциональная v^2/r, должна быть пропорциональна 1/r^2. Это и есть закон обратной пропорции квадратов в законе тяготения.
257
Три закона планетарного движения Кеплера не всеми принимались до Ньютона, хотя первый закон о том, что орбиты планет являются эллипсами, в фокусе которых находится Солнце, был широко распространен. Именно выведение Ньютоном тех же законов в своих «Началах» привело к их всеобщему признанию.
Само по себе это можно рассматривать просто как способ переформулировать Третий закон Кеплера. В рассуждениях Ньютона о планетах ничто не указывало на связь между силой, удерживающей планеты на их орбитах, и общеизвестными явлениями, связанными с силой тяготения на поверхности Земли. Эта связь появляется после того, как Ньютон начинает рассуждать о Луне. Утверждение Ньютона о том, что он «сравнил Луну на ее орбите с силой притяжения на поверхности Земли и нашел, что они подходят очень хорошо», указывает на то, что он рассчитал центростремительное ускорение Луны и нашел, что оно меньше ускорения свободного падения тел вблизи поверхности Земли в том самом соотношении, которого можно ожидать, если оба эти ускорения обратно пропорциональны квадрату расстояния от центра Земли.