Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике
Шрифт:
Неравенство Чебышева. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания М(Х) по абсолютной величине меньше положительного числа не меньше, чем
т. е.
Доказательство. Так как события |Х-М(Х)|‹ и |Х-М(Х)|>= являются противоположными, то на основании теоремы сложения вероятностей сумма их вероятностей равна единице:
P(|Х-М(Х)|‹)+P(|Х-М(Х)|>=)=1.
Выразим
P(|Х-М(Х)|‹)=1– P(|Х-М(Х)|>=). (1)
Дисперсия случайной величины Х определяется по формуле:
D(X)=(x1–M(X))2*p1+(x2–M(X))2*p2+…+(xn–M(X))2*pn.
Если отбросить первые k+1 слагаемые, для которых выполняется условие |xj-M(X)|‹ , то получим следующее неравенство:
D(X)>=(xk+1–M(X))2*pk+1+(xk+2–M(X))2*pk+2+…+(xn–M(X))2*pn.
Возведя обе части неравенства
в квадрат, получим равносильное неравенство |xj–M(X)|2>=2. Если заменить в оставшейся сумме каждый из множителей |xj–M(X)|2 числом 2, то получим следующее выражение:
D(X)>= 2(pk+1+ pk+2+…+ pn).
Так как сумма в скобках (pk+1+ pk+2+…+ pn) является выражением вероятности P(|Х-М(Х)|>=), то справедливо неравенство (2):
D(X)>= 2P(|Х-М(Х)|>=),
или
Если подставить неравенство (2) в выражение (1), то получим:
что и требовалось доказать.
Теорема Чебышева. Если величины X1, X2, …, Xn являются последовательностью попарно независимых случайных величин, имеющих дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной С (D(Xi)<=C), то, как бы ни было мало положительное число , вероятность неравенства
будет приближаться к единице, если число случайных величин достаточно мало. Другими словами, для любого положительного числа существует предел:
Доказательство. В силу второго свойства дисперсии (постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат) и оценки D(Xi)<=C получим:
Таким образом,
Из данного соотношения и неравенства Чебышева вытекает, что
Отсюда, переходя к пределу при n›, получим
Учитывая, что вероятность не может быть больше единицы, окончательно запишем:
что и требовалось доказать.
Если для рассматриваемых
3. Теоремы Бернулли и Ляпунова
Предположим, что проводится n независимых испытаний. В каждом из этих испытаний вероятность наступления события А постоянна и равна р. Задача состоит в определении относительной частоты появлений события А. Данная задача решается с помощью теоремы Бернулли.
Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний событие A имеет постоянную вероятность p, то, как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты m/n от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико, т. е. при соблюдении условий теоремы справедливо равенство:
Доказательство. Предположим, что
является дискретной случайной величиной, которая характеризует число появлений события А в каждом из испытаний. Данная величина может принимать только два значения: 1 (событие А наступило) с вероятностью р и 0 (событие А не наступило) с вероятностью q=1-p.
Случайные дискретные величины Хiявляются попарно независимыми и дисперсии их ограниченны, следовательно, к данным величинам применима теорема Чебышева:
Математическое ожидание а каждой из величин Хiравно вероятности р наступления события, следовательно, справедливо следующее равенство:
Таким образом, необходимо доказать, что дробь
или
равна относительной частоте m/n появлений события А в n испытаниях.
Каждая из величин
при наступлении события А в соответствующем испытании принимает значение, равное единице. Следовательно, сумма
равна числу m появлений события А в n испытаниях:
С учётом данного равенства можно окончательно записать:
что и требовалось доказать.
Однако при использовании теоремы Бернулли необходимо учитывать то, что из неё не следует равенство