Ответы на экзаменационные билеты по эконометрике
Шрифт:
E(t)=E(t-1+t)= E(t-1)+E(t)=0.
Предположим, что дисперсия случайной ошибки модели регрессии рассчитывается по формуле:
Рассчитаем ковариацию между двумя соседними случайными ошибками модели регрессии 2 и 1:
Рассчитаем ковариацию между следующими случайными ошибками модели регрессии 3
Дальнейший процесс расчёта ковариаций для всех случайных ошибок обобщенной модели регрессии осуществляется по тому же принципу.
В результате проведённых вычислений матрицу корреляций остатков обобщённой линейной модели регрессии можно представить следующим образом:
где G2(i) – это величина дисперсии случайной ошибки модели регрессии. Её выборочную оценку определяется по формуле:
где T – объём выборочной совокупности;
h – число оцениваемых по выборке параметров.
Если случайные ошибки модели регрессии подвержены гетероскедастичности (но являются неавтокоррелированными), то для оценивания неизвестных коэффициентов модели регрессии применяется взвешенный метод наименьших квадратов.
Суть взвешенного метода наименьших квадратов состоит в том, что остаткам обобщённой модели регрессии придаются определённые веса, которые равны обратным величинам соответствующих дисперсий G2(i). Однако на практике значения дисперсий являются величинами неизвестными, поэтому для вычисления наиболее подходящих весов используется предположение о том, что они пропорциональны значениям факторных переменных xt.
Таким образом, матрица ковариаций случайных ошибок модели регрессии определяется исходя из предположения о пропорциональности величины G2(i) значениям факторной переменной xt:
xt= G(i),
где – ошибка высказанного предположения или некоторая поправка.
В этом случае матрица ковариаций случайных ошибок модели регрессии может быть представлена в виде:
От точности оценки матрицы ковариаций случайных ошибок модели регрессии зависит удовлетворение оценок неизвестных коэффициентов, полученных доступным обобщённым или взвешенным методом наименьших квадратов, основным статистическим свойствам – несмещённости, состоятельности и эффективности.
67. Модели регрессии с переменной структурой. Фиктивные переменные
При построении модели регрессии может возникнуть ситуация, когда в неё необходимо включить не только количественные, но и качественные переменные (например, возраст, образование, пол, расовую принадлежность и др.).
Фиктивной переменной (dummy variable) называется атрибутивный или качественный фактор, представленный посредством определённого цифрового кода.
Наиболее наглядным примером применения фиктивных переменных является модель регрессии, отражающая проблему
Предположим, что на основе собранных данных была построена модель регрессии, отражающая зависимость заработной платы рабочих y от их возраста х:
yt=0+1xt.
Однако данная модель регрессии не может в полной мере охарактеризовать вариацию результативной переменной. Поэтому в модель необходимо ввести дополнительный фактор, например пол, на основании предположения о том, что у мужчин в среднем заработная плата выше, чем у женщин. В связи с тем, что переменная пола является качественной, её необходимо представить в виде фиктивной переменной следующим образом:
С учётом новой фиктивной переменной модель регрессии примет вид:
y=0+1x+2D,
где 2 – это коэффициент, который характеризует в среднем разницу в заработной плате у мужчин и женщин.
Моделью регрессии с переменной структурой называется модель регрессии, которая включает в качестве факторной переменной фиктивную переменную.
Рассмотрим модель регрессии, характеризующую зависимость переменной размера заработной платы у от переменной стажа работников х с различным образованием. Качественная переменная «образование» может принимать три значения: среднее, среднее специальное и высшее. Для включения факторной переменной «образование» в модель регрессии, необходимо ввести две новых фиктивных переменных, потому что их количество должно быть на единицу меньше, чем значений качественной переменной.
Следовательно, качественная переменная «образование» может быть представлена в виде:
Модель регрессии, характеризующая зависимость переменной размера заработной платы у от переменной стажа работников х с различным образованием, примет вид:
y=0+1x+2D1+ 3D2.
Моделью регрессии без ограничений (unrestricted regression) называется модель регрессии, в которую включены все фиктивные переменные.
Базисной моделью или регрессией с ограничениями (restricted regression) называется модель регрессии, в которой все значения фиктивных переменных равны нулю.
Для нашего примера модель регрессии вида y=0+1x+2D1+3D2будет являться моделью регрессии без ограничений, а модель регрессии вида y=0+1x при D1= D2=0 будет являться моделью регрессии с ограничениями. Базисная модель регрессии соответствует регрессионной зависимости заработной платы рабочих со средним образованием от стажа работы.
Для модели регрессии без ограничений можно также построить частные регрессии. Например, частная модель регрессии переменной заработной платы работников со средним специальным образованием от переменной стажа:
y=0+1x+2D1,
где 2 — это коэффициент, который характеризует, насколько большую заработную плату получают рабочие со средним специальным образованием по сравнению с работниками со средним образованием при одинаковом стаже работы.