Паскаль
Шрифт:
Комбинаторный метод Ферма, который в письме к Каркави от 9 августа 1654 года выражал бесконечное восхищение талантом молодого Паскаля и считал его способным довести до успешного конца любые начинания, известен из послания Блеза знаменитому тулузцу, датированного 24 августа 1654 года. В нем, в частности, приводится пример решения Ферма третьего варианта Паскалева разделения ставки, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй не выиграл ни одной. Тулузец исходит из вероятности выигрыша всей игры: для ее окончания максимально потребовалось бы еще четыре партии, и он рассматривает возможные комбинации (их всего шестнадцать) результатов этих четырех партий, которые можно записать следующим образом (выигранные первым игроком партии обозначаются знаком +, выигранные вторым — знаком —):
Только в пяти последних
Полученный разными методами одинаковый результат заставляет Блеза в письме к Ферма высказать свое удо-
вольствие по поводу того, что «истина одна и та же и в Париже и в Тулузе». Хотя в процессе переписки выявились некоторые расхождения, они быстро устранились, и 27 октября 1654 года Паскаль отвечает своему корреспонденту: «Ваше последнее письмо меня полностью удовлетворило. Я восхищаюсь вашим методом раздела ставки, тем более что вполне его понимаю; оп целиком ваш, не имеет ничего общего с моим и легко приводит к той же цели. Итак, наше взаимопонимание восстановлено».
Известный историк математики Цейтен пишет, что задача де Мере позволила Паскалю и Ферма нащупать общие принципы подобного рода исследований. «Найденные дроби 11/16 и 5/16, — отмечает Цейтен, — величины, которые мы теперь называем вероятностями выигрыша А или Б; это частное от деления числа случаев, благоприятных для А или Б, на число всех возможных случаев. Таким образом, этим понятием вероятности пользовались, по существу, уже в то время, хотя ему не дано еще было четкого определения».
Более четкое и общее определение дал Гюйгенс, занявшийся вероятностными проблемами под влиянием сообщений об исследованиях Ферма и Паскаля, который в изданном в 1657 году сочинении «О расчетах в азартных играх» своеобразно (под влиянием коммерческой терминологии) сформулировал и систематически использовал понятие математического ожидания: «Если число случаев, в которых получается сумма а, равно р и число случаев, в которых получается сумма b, равно q и все случаи могут получиться одинаково легко, то стоимость моего ожидания равна (pa+qb)/(p+q)».
Дальнейшее развитие новой отрасли математики связано с успехами естествознания и статистики и с именами таких известных ученых, как Я. Бернулли, Лаплас, Пуассон, Чебышев и другие. Следует, однако, заметить, что возможности этого развития и философского углубления теории вероятностей содержались и в собственных, видимо, не осуществленных планах Паскаля. Когда в конце 1654 года Блез направил «знаменитейшей Парижской математической академии наук» послание с перечислением своих работ, он указал среди них «совершенно новый трактат о случайных комбинациях, которым подчинены азартные игры», где «колебания счастья и удачи подчиняются рассуждениям, опирающимся на справедливость и ставящим себе целью, чтобы каждый игрок неизменно получал то, что ему по праву точно причитается. Это тем в большей мере должно определяться усилиями разума, чем в меньшей мере может быть найдено из опыта. Ведь неопределенный исход явления теснее связан со случайностью, чем с законами природы. Поэтому подобные вопросы оставались нерешенными; теперь же то, что не поддавалось опыту, не может избегнуть власти разума, и мы с тем большей уверенностью подчинили их искусству математики, чтобы, овладев ими отчасти, смелее продвигаться вперед. Так математическая строгость доказательств сочетается с неопределенностью случайного и тем соединяет кажущиеся противоположности. От этой двойственности метод заимствует свое наименование, дерзко присваивая себе по праву нелепое название „математика случайного“.
Однако «нелепость» и «дерзость» «математики случайного» в значительной мере устранялись тем, что в теории вероятностей, зарождавшейся из азартных игр, случай лишался своего абсолютного значения и подлинности (внезапности, неожиданности, таинственности) и превращался в реальную возможность, функционально зависимую от ожидания
Предварительные «правила игры» поддаются абстрактному комбинаторному исчислению и позволяют решать частные вероятностные задачи более общими методами. Так, у Паскаля имеется общее решение о разделении ставки между двумя игроками на основе изучения арифметического треугольника, названного впоследствии его именем.
«Трактат об арифметическом треугольнике» создан в период переписки с Ферма (издан в 1665 году) и тесно связан с обобщением возникших в ней комбинаторных проблем. Арифметический треугольник представляет собой числовую таблицу, верхняя строчка и первый столбец которой образованы единицами, а каждая клетка следующей строчки заполнена цифрой, получаемой от сложения чисел над данной клеткой и слева от нее. Так же образуются числа нижеследующих строк (этот процесс можно продолжать сколько угодно). Числа третьей строки назывались треугольными, четвертой — пирамидальными и т. д. Числаарифметического треугольника являются числами сочетаний, подсчитываемыми по формуле
В довольно похожей форме такая таблица еще раньше была известна в странах Азии. В Европе она встречается в XVI веке у немецкого математика Штифеля и у итальянского математика Тартальи (у последнего в виде четырехугольника, стороны которого образуют последовательности фигурных чисел). Но это никак не повлияло на самостоятельность Паскаля и на значительность его вклада в комбинаторику.
В своем трактате он излагает свойства и соотношения членов разностных рядов и биноминальных коэффициентов (они расположены по диагоналям таблицы), описывает двадцать основных следствий, вытекающих из непосредственного рассмотрения арифметического треугольника, а в небольших приложениях к трактату разбирает возможности использования этого треугольника для изучения числовых порядков и сочетаний, для определения раздела ставок между игроками и степеней биномов.
Антиалгебраизм Паскаля, неприязнь к отвлеченным формулам, сказавшиеся уже в его первых математических работах, обнаруживаются и в «Трактате...», где свойства чисел хотя и выводятся в общем виде, но описательно, с конкретными доказательными примерами, без алгебраических символов. Так, например, при определении коэффициентов степеней бинома Блез не искал априорных формул для их исчисления, а записывал их друг за дружкой, переходя от низших степеней к высшим, что не позволило ему, по словам одного французского исследователя научного творчества Паскаля, сделать открытие Ньютона: «Паскалю не хватило одного росчерка пера для написания формулы, дающей коэффициент n-го порядка, получаемого при возведении бинома в степень m: он не сделал его, позволив Ньютону прославить свое имя этим вычислением».
В числе приложений к «Трактату об арифметическом треугольнике» имеется небольшая работа под названием «О суммировании числовых степеней», написанная также в 1654 году и очень важная для дальнейшего течения мысли Блеза не только в математическом отношении. В ней Паскаль дает метод подсчета степеней чисел натурального ряда, а затем заключает: «Те, кто хотя бы в малой степени разбирается в учении о неделимых, не преминут усмотреть, что можно извлечь из предыдущих результатов для определения криволинейных площадей. Эти результаты позволяют немедленно квадрировать параболы всех видов и бесконечно много других кривых.
Если мы распространим на непрерывные величины те результаты, которые найдены для чисел по методу, изложенному выше, мы сможем высказать следующие правила.
Правила, относящиеся к прогрессии натуральных чисел, начинающейся с единицы
Сумма некоторого числа линий относится к квадрату наибольшей линии, как 1 к 2.
Сумма квадратов тех же линий относится к кубу наибольшей, как 1 к 3.
Сумма их кубов относится к четвертой степени наибольшей, как 1 к 4.
Общее правило, относящееся к прогрессии натуральных чисел, начинающейся с единицы