Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение

Фресан Хавьер

ВЕЙЛЬ: Именно! А чтобы выполнить эту транспозицию, можно повернуть додекафонический круг на девять полутонов или же прибавить [9] к элементам первой строки. Вторая строка латинского квадрата будет выглядеть так:

[9] | [0] | [11] | [2] | [1] | [5] | [10] | [7] | [8] | [6] | [4] | [3]

Выполним аналогичные действия для десяти оставшихся строк.

ми	соль	фа-диез	ля	соль-диез	до	фа	ре	ре-диез	до-диез	си	ля-диез
до-диез	ми	ре-диез	фа-диез	фа	ля	ре	си	до	ля-диез	соль-диез	соль
ре	фа	ми	соль	фа-диез	ля-диез	ре-диез	до	до-диез	си	ля	соль-диез
си	ре	до-диез	ми	ре-диез	соль	до	ля	ля-диез	соль-диез	фа-диез	фа
до	ре-диез	ре	фа	ми	соль-диез	до-диез	ля-диез	си	ля	соль	фа-диез
соль-диез	си	ля-диез	до-диез	до	ми	ля	фа-диез	соль	фа	ре-диез	ре
ре-диез	фа-диез	фа	соль-диез	соль	си	ми	до-диез	ре	до	ля-диез	ля
фа-диез	ля	соль-диез	си	ля-диез	ре	соль	ми	фа	ре-диез	до-диез	до
фа	соль-диез	соль	ля-диез	ля	до-диез	фа-диез	ре-диез	ми	ре	до	си
соль	ля-диез	ля	до	си	ре-диез	соль-диез	фа	фа-диез	ми	ре	до-диез
ля	до	си	ре	до-диез	фа	ля-диез	соль	соль-диез	фа-диез	ми	ре-диез
ля-диез	до-диез	до	ре-диез	ре	фа-диез	си	соль-диез	ля	соль	фа	ми

125

Как

вы уже видели, эта таблица содержит ту же информацию, что и таблица

[0]	[3]	[2]	[5]	[4]	[8]	[1]	[10]	[11]	[9]	[7]	[6]
[9]	[0]	[11]	[2]	[1]	[5]	[10]	[7]	[8]	[6]	[4]	[3]
[10]	[1]	[0]	[3]	[2]	[6]	[11]	[8]	[9]	[7]	[5]	[4]
[7]	[10]	[9]	[0]	[11]	[3]	[8]	[5]	[6]	[4]	[2]	[1]
[8]	[11]	[10]	[1]	[0]	[4]	[9]	[6]	[7]	[5]	[3]	[2]
[4]	[7]	[6]	[9]	[8]	[0]	[5]	[2]	[3]	[1]	[11]	[10]
[11]	[2]	[1]	[4]	[3]	[7]	[0]	[9]	[10]	[8]	[6]	[5]
[2]	[5]	[4]	[7]	[6]	[10]	[3]	[0]	[1]	[11]	[9]	[8]
[1]	[4]	[3]	[6]	[5]	[9]	[2]	[11]	[0]	[10]	[8]	[7]
[3]	[6]	[5]	[8]	[7]	[11]	[4]	[1]	[2]	[0]	[10]	[9]
[5]	[8]	[7]	[10]	[9]	[1]	[6]	[3]	[4]	[2]	[0]	[11]
[6]	[9]	[8]	[11]	[10]	[2]	[7]	[4]	[5]	[3]	[1]	[0]

ЛЕВИ-СТРОСС:

На основе додекафонической таблицы, подобной той, которую мы только что составили, можно написать такую мелодию:

С одной стороны, на нижнем нотном стане в ключе фа записана основная последовательность нот из первой строки, на основе которых мы получили все остальные ноты. С другой стороны, на верхнем нотном стане записаны две мелодии: первая, состоящая из более низких звуков, соответствует второму столбцу таблицы, вторая, состоящая из более высоких звуков,— первой строке, прочитанной справа налево.

Число возможных вариантов практически бесконечно!

ВЕЙЛЬ: Так сегодня звучит музыка сфер.

ЛЕВИ-СТРОСС: И так мы будем слушать ее до тех пор, пока алгебра не разлучит нас.

126

Приложение

Конечные абелевы группы с двумя порождающими элементами [1]

В этом приложении приведено полное доказательство теоремы о структуре конечных абелевых групп с двумя порождающими элементами, которую упоминает Андре Вейль в диалоге с Клодом Леви-Строссом на стр. 73.

1

1 Автор выражает благодарность Густаво Очоа за помощь в подготовке приложения.

Теорема. Конечная абелева группа, порожденная двумя элементами, изоморфна либо циклической группе, либо прямому произведению двух циклических групп.

Прежде чем перейти к доказательству, напомним, что такое изоморфизм групп, о котором мы вкратце упоминали на стр. 57.

Изоморфизм групп

Пусть G и Н — две группы. Обозначим их групповые операции * и · соответственно. Обозначим нейтральные элементы групп через е_G и е_H.

Определение. Гомоморфизм групп G и Н — это функция φ: G → Н, которая каждому элементу g группы С ставит в соответствие элемент φ(g) группы Н (отображение g) так, что при этом...

Если мы найдем отображение результата операции над двумя элементами С, а затем сначала применим φ к каждому элементу, после чего найдем результат операции на Н, то результат в обоих случаях будет одинаков: φ(а * * b) = φ(а) · φ(b).

Приведем два следствия из этого определения. Отображением нейтрального элемента G, заданным функцией ф, должен быть нейтральный элемент Н: ф(е_G) = е_H.

127

Так как е_G * е_G = е_G, имеем φ(е_G) = ф(е_G) · ф(е_G). Применив закон сокращения (см. стр. 58), мы можем сделать вывод: ф(е_G) = е_H. Также заметим, что гомоморфизм «сохраняет» обратные элементы: ф(g^{– 1}) = ф(g)^{– 1} для любого g на группе G.

В самом деле, g * g^{– 1} = е_G, следовательно, ф(g*g^{– 1}) = ф(е_G) = е_H в соответствии с доказанным выше. С другой стороны, по определению гомоморфизма ф(g*g^{– 1}) = ф(g) · ф(g^{– 1}). Из этих двух утверждений следует: ф(g) · ф(g^{– 1}) = е_H — это равенство по-прежнему будет верным, если мы поменяем местами ф(g) и ф(g^{– 1}). Следовательно, ф(g) — обратный элемент ф(g^{– 1}).

Гомоморфизмы играют важнейшую роль при сравнении двух различных групп между собой. Особо выделим один частный случай, в котором две группы по своей структуре неразличимы, как, например, симметрическая группа S₃ и группа преобразований, оставляющих неизменным равносторонний треугольник (стр. 56). Чтобы выразить эквивалентность структур формально, было введено понятие изоморфизма.

Определение. Гомоморфизм ф: G → Н называют изоморфизмом групп, если выполняются следующие условия.

(1) Инъективность. Если а и b — два различных элемента G, то φ(а) и φ(b) — два различных элемента Н.

(2) Сюръективность. Каждый элемент Н является отображением некоторого элемента G, то есть для любого h группы Н существует такой элемент g группы G, что р(g) = h.

В силу свойств гомоморфизма нетрудно видеть, что инъективность эквивалентна другому условию, которое проще проверить на практике.

(1') Единственный элемент G, который отображение φ преобразует в нейтральный элемент Н, это нейтральный элемент G. Иными словами, если φ(g) = e_H, то g = e_G.

В самом деле, предположим, что выполняется условие (1) и что φ(g) = e_H. Так как р — гомоморфизм, мы знаем, что ф(e_G) = е_H, следовательно g обязательно должен совпадать с e_G — в противном случае два различных элемента будут иметь одинаковые отображения. Посмотрим, что произойдет, когда выполняется свойство

128

(1'). Пусть a и b — два элемента С такие, что φ(а) = φ(b). Мы хотим доказать, что а = b. Сначала применим закон сокращения (см. стр. 58) и перепишем равенство в виде φ(а) *φ(b)^{– 1} = е_H. Так как φ — гомоморфизм, ф(b)^{– 1} совпадает с φ(b^{– 1}) и φ(а) · φ(^{– 1}) = φ(а * b^{– 1}). Следовательно, φ(а * b^{– 1}) = e_H и из (1') следует, что а * b^{– 1}= e_G. Умножив обе части на b, получим, что а = b.