Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение

Фресан Хавьер

Рассмотрим порядок а и b. По основной теореме арифметики (стр. 89) оба этих числа можно разложить на простые множители. Разделим эти множители на две группы в зависимости от того, являются ли они одновременно делителями порядков а и b или нет. Чтобы читатель смог лучше понять рассуждения, ограничимся тем, что рассмотрим следующую ситуацию: существует единственное простое число р, которое одновременно является делителем порядков а и b (в общем случае рассуждения будут аналогичными, но все обозначения будут содержать верхние индексы, что затруднит чтение).

Выберем наибольшие степени р и запишем порядок (а) = р^em, порядок (b) = р^fn, где e и f — два положительных целых числа. Также предположим, что е < f. Обратите внимание, что m и n взаимно простые: если бы они имели общий простой

делитель, он также был бы делителем порядков а и b, следовательно, был бы равен р. Это же верно для р^e и m, а также для р^f и n.

Применив лемму к циклическим группам, порожденным а и b, получим изоморфизмы <a>≃<a^m> × <a^pr> и <b>≃<bⁿ> × <b^pt>. Следовательно:

<a> × <b> ≃ <a^m> × <a^pe> × <bⁿ> × <b^pf>. (*)

131

Рассмотрим три последних множителя, которые имеют порядок m, p^f и n соответственно. Так как m и p^f взаимно простые, из леммы следует, что прямое произведение <a^pr> × <bⁿ> изоморфно циклической группе порядка p^fm. Так как n и p^fm также взаимно простые, мы можем вновь применить эту лемму и показать, что произведение трех множителей изоморфно циклической группе <х> порядка p^fmn.

Примем у = а^m. Порядок этого элемента равен р^e. Из формулы (*) следует, что прямые произведения <а> <b> и <х> <у> изоморфны, следовательно, существует сюръективное отображение <х> <у> на G. Иными словами, х и у порождают G.

Теперь нетрудно показать, что порядок (х) = p^fmn делится на порядок (у) = р^e, так как мы предположили, что е < f. Мы доказали следующую лемму [2] :

2

2 На самом деле мы доказали следующий, более точный результат.

Пусть С — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами а и b. Пусть порядок (а) = p₁^e₁ ... m p_r^e_r и порядок (b) = p₁^f₁ ... m p_r^f_r, где р — простые числа, e₁ и f₁ — целые неотрицательные числа, m и n — взаимно простые. Следовательно, группа G изоморфна группе, порожденной двумя элементами х и у такими, что порядок (х) = p₁^h₁ ... p_r^h_r, mn и порядок (у) = p₁^g₁ ... p_r^g_r, где h = max(е, f) и g = min(e, f) для всех i = 1,...,r.

Лемма 2. Пусть G — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами.

Можно выбрать ее порождающие элементы так, что порядок одного будет делителем порядка другого.

Продолжим доказательство.

Порядок группы

Согласно предыдущей лемме мы можем выбрать порождающие элементы х и у группы G так, что порядок (у) = l и порядок (х) будет кратным l и равным, к примеру, lk.

Все элементы G можно будет записать в виде 0 ≤ i < lk у 0 ≤ у< l, где 0 < i < lk и 0 < j< l.

Если бы две степени порождающих элементов совпадали, эта запись была бы не единственной. К примеру, если бы у³ равнялось х², то х²у⁴ и х⁴у были бы двумя разными способами записи одного и того же элемента. Обозначим через t наименьшее целое положительное число такое, что у^t совпадает с x^s для некоторого целого s. Мы знаем, что t < I, так как у^l = е = х^lk.

132

В этой новой нотации каждый элемент G можно записать единственным образом в виде xⁱy^j, где 0 < i < lk и 0 < j < t. В самом деле, если бы равенство xⁱy^j = xⁱy^j выполнялось для какого-либо 0< j' ≤ j < t, то мы получили бы х^i'-i = у^j-j', или, что аналогично, у^j-j' было бы степенью х. Так как j’ — j строго меньше t, эта величина может равняться только нулю, следовательно, j = j' и i' = i, так как х^i'-i = е при —lk < i' —i < lk.

Это доказывает, что порядок G равен произведению двух верхних границ показателей степени i и j, то есть lkt.

Целое число v

Обозначим через r порядок элемента у^t. Так, е = (у^t)^r = у^tr. Так как у — элемент порядка l, мы знаем, что l ≤ tr. Мы хотим доказать, что l = tr, следовательно, надо исключить случай l < tr. Будем рассуждать следующим образом: если t < tr, то существует целое число u < r такое, что l заключено между tu и t(u + 1), то есть выполняется равенство tu < l < t(u + 1). Обратим внимание на величину t(u + 1) — l.

С одной стороны, это целое положительное число, меньшее t, так как 0 < t(u + 1) — l < t(u + 1) — tu = у.

С другой стороны, имеем равенства y^l(u+1)-l = y^t(u+1)(u + i )= x^s(u+1), так как у имеет порядок l, и у^t = x^s.

Таким образом, мы доказали, что существует целое положительное число, меньшее t, такое, что у, возведенное в эту степень, равно некоторой степени х. Этот вывод абсурден, так как, по определению, t — наименьшее целое число, обладающее этим свойством. Таким образом, мы исключили случай l < tr. Имеем l = tr. Так, е = у^t = y^lr = x^sr.

В дальнейших рассуждениях применим следующую лемму.

Лемма 3. Пусть g — элемент порядка n группы G. Тогда n будет делителем любого целого числа d такого, что g^d = е.

Достаточно доказать эту лемму для положительных d. Так как n — наименьший целый показатель степени, для которого g, возведенный в эту степень, совпадает с нейтральным элементом, мы знаем, что n < d. Следовательно, мы можем разделить duann получить d = рп + r, где 0 < r < n — остаток от деления.

Тогда е = g^d = g^{pn + r} = (gⁿ)^p g^r = g^r, так как gⁿ = e. Таким образом, g^r = e, и это означает, что r = 0 — в противном случае порядок g будет равняться не n, а r. Лемма доказана.

Так как x^sr = е, то, по лемме 3, sr нацело делится на порядок (х) = Ik, то есть существует v такое, что sr = Ikv. Подставив в это выражение значение f, которое

133

мы только что вычислили, получим sr = trkv. Так как r — порядок элемента у^t, это ненулевое целое число. Разделив на него обе части равенства, получим s = tkv.