Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение
Шрифт:
К каждой встрече члены группы готовили доклады на различные темы, которые позднее должны были войти в книгу. На встречах мы читали эти доклады, составляли планы отдельных томов и связывали различные главы с теми, что уже были опубликованы или только готовились к публикации. Затем начиналась редактура. Мы постановили, что книгу можно будет считать законченной только тогда, когда за это единогласно проголосуют все члены группы. Порой одна и та же рукопись переписывалась бесчисленное множество раз, и на работу ушло более пяти лет, поскольку всегда находился кто-то недовольный результатом. Я и сегодня не могу поверить, что в 1939 году мы завершили работу над сорокастраничной брошюркой, где излагались основы наивной теории множеств, и даже нашли издателя.
ЛЕВИ-СТРОСС:
ВЕЙЛЬ: Разумеется. Девиз, под которым группа Бурбаки начала свой труд по унификации математики, звучал так: «поставить аксиоматический метод на службу идеологии структур». Об идеологии структур мы поговорим чуть позже.
Если говорить о методе, то мы решили использовать в качестве основы теорию множеств, которая, несмотря на парадоксы, обнаруженные в ней в начале века, в то время пребывала в добром здравии. Следовательно, первый шаг на пути к формализации математики состоял в том, чтобы подробно описать все обозначения и синтаксис теории множеств.
Эта задача была посложнее любого из подвигов Геракла — перед нами был пример Рассела и Уайтхеда, которые работали над «Началами математики» десять лет подряд по 12 часов в день. Таким образом, если бы мы ввели достаточное количество аббревиатур и новых правил синтаксиса, то получили бы намного более практичный язык. Он не был бы формальным в строгом смысле этого слова, но был бы достаточно близок к формальным языкам, чтобы обладать идеальной четкостью. Именно в этом и заключалась «наивность» нашей теории множеств — разновидности стенографической записи идеального языка, не содержащего ни единого пробела.
Вскоре мы забросили формализованную математику, но во всех работах неизменно оставляли своего рода путеводные знаки, чтобы при необходимости вернуться к ней. Следует понимать, насколько мы были увлечены строгими обозначениями, не оставлявшими места риторике. В нашем линейном повествовании запрещались любые отсылки к другим источникам, и в результате вещественные числа впервые объяснялись на трехтысячной странице.
ЛЕВИ-СТРОСС: Не противоречат ли этому исторические заметки, согласно которым Бурбаки имел обыкновение начинать каждую книгу «с чистого листа»?
ВЕЙЛЬ: Это другое. Обратите внимание, что название нашего трактата, «Начала математики», было выбрано не случайно. С одной стороны, мы понимаем математику как единое целое, с другой — сложно не заметить отсылку к «Началам» Евклида. Мы, подобно Евклиду, хотели создать труд, который не потерял бы актуальность на протяжении двух тысяч лет, а достичь этой цели можно было только при одном условии — обеспечив абсолютную полноту книги. Представьте, что люди будущего обнаружат одну из математических статей. В ней будет множество отсылок к другим текстам, многие из которых, скорее всего, окажутся утерянными, и сколь бы интересной ни была наша статья, в конечном итоге она оказалась бы бесполезной. «Начать с чистого листа» не означает отрицать существование математики до нас, ведь геометрия существовала и до Евклида. Напротив: наш трактат, подобно труду Евклида, должен был содержать все знания, известные на тот момент.
Но при упорядочении старых материалов часто обнаруживаются другие, новые.
Должен признаться, что добавить исторические заметки в конец каждого тома предложил я. Позвольте рассказать, почему я принял такое решение. Когда я поступил в Нормальную школу, оказалось, что научная библиотека работала по очень неудобному расписанию. Директор, устав выслушивать мои жалобы, назначил меня помощником библиотекаря. Я мог работать в библиотеке в любое время суток — от меня требовалось лишь минимальное присутствие на рабочем месте. Именно в библиотеке Нормальной школы я прочел труд Бернхарда Римана — в свое время я выучил немецкий, чтобы понимать, о чем говорят родители, когда хотят сохранить что-то в секрете от меня с сестрой. Прочтя труд Римана, я еще больше укрепился в мысли, которая пришла мне в голову после знакомства с трудами древних греков: во всей истории человечества важны
ЛЕВИ-СТРОСС: Раз мы заговорили о великих математиках прошлого, я не могу не спросить вот о чем: вас не беспокоило, что их труды отличались меньшей строгостью и четкостью, чем ваши?
ВЕЙЛЬ: Вы правы, это была одна из самых больших опасностей. Допускаю, что мы не всегда умели держать дистанцию. Мне повезло: историю математики мне преподавал Макс Деи, один из двух человек в моей жизни, кто заставил меня думать о Сократе. Этот удивительный преподаватель считал, что математика — лишь одно из множества зеркал, в которых отражается истина (возможно, четче, чем в остальных). Он организовал во Франкфуртском университете семинар, где планировал читать великие труды с точки зрения их авторов, не требуя от математиков прошлого того, чего позволял достичь лишь современный формализм. Этим же путем я проследовал при работе над книгой об истории теории чисел: я изобразил математиков за работой, чтобы читатель смог понять, как мыслили мудрецы разных эпох, начиная от вавилонян эпохи Хаммурапи, записавших пифагоровы тройки на табличке Плимптон, и заканчивая Лежандром и его «Опытом теории чисел».
ЛЕВИ-СТРОСС: Это та книга, которая начинается с китайской каллиграммы?
ВЕЙЛЬ: Она самая! Я попросил моего коллегу, математика Шиинг-Шена Черна написать его прекрасным каллиграфическим стилем китайскую пословицу «Старый конь знает дорогу». Поэтому на следующей странице приведена фотография барельефа с гробницы императора Тай-цзуна с изображением коня. Я счел, что эта пословица прекрасно отражает мое решение заняться историей математики, так как с возрастом мне все сложнее было вести активную исследовательскую работу. Вы не представляете, сколько математиков в последние годы жизни пали духом из-за того, что утратили прежнюю остроту ума. Я не хотел разделить их участь и стал историком. Ну вот, я заговорил о старости. Миф, связывающий математику с юностью, правдив лишь отчасти: в самом деле, некоторые математики, прожив очень короткую жизнь, навсегда оставили след в истории, однако нельзя в точности сказать, в каком возрасте угасают творческие способности. Харди в своей «Апологии математика» называет возраст в 35 лет — не потому ли, что в этом возрасте он счел,
21
Китайская пословица «Старый конь знает дорогу».
будто уже никогда не сможет доказать новых теорем? Не будем далеко ходить за примером: я сам создал лучшие из своих трудов после 35.
ЛЕВИ-СТРОСС: Тем не менее «пенсионный возраст» для членов группы Бурбаки был четко определен.
ВЕЙЛЬ: А за тем, чтобы он неукоснительно соблюдался, следил я! Не помню, когда именно мы решили, что возраст членов группы не может превышать 50 лет.
Преемственность поколений стала одной из причин успеха Бурбаки: лучшие студенты из каждого выпуска присоединялись к группе на правах подопытных кроликов,
22
и многие из них позднее становились полноправными членами коллектива. Между ними и нами существовала огромная разница: нас обучали математике по-старому, а они были первыми, кто изучил математику по-новому; они были нашими учениками. Мне кажется, французская математика второй половины XX века не знала бы таких успехов без этой плеяды студентов, работавших над общими темами при подготовке книги.
ЛЕВИ-СТРОСС: Возможно, никто не ожидал, что в 50 лет умрет и сам Бурбаки.
ВЕЙЛЬ: На самом деле это неудивительно. Наше видение математики намного лучше соответствовало дисциплинам, проверенным временем, а не тем, что находились в процессе развития. Я мог бы дать структуре формальное определение, но чтобы вы лучше меня поняли, я воспользуюсь метафорой из мира архитектуры.