Приглашение в теорию чисел

ОРЕ О.

Система задач 6.5.

1. Найдите двоичное представление чисел Ферма (§ 3, гл. 2)

2. Найдите двоичные представления четных совершенных чисел (§ 4, гл. 3)

§ 6. Игры с числами

Существует множество видов игр с числами, некоторые из которых были известны еще в средние века. Большинство из них не представляет интереса для теории чисел, скорее всего, они подобно магическим квадратам принадлежат к классу кроссвордов с числами. Некоторые из них проиллюстрируем примерами.

Перед вами телеграмма, посланная школьником домой, с настоятельной просьбой:

S E N D

M O R E

_________

M O N E Y [11]

Будем

рассматривать эту схему, как сложение двух четырехзначных чисел SEND и MORE, в сумме дающих число MONEY. Каждая буква означает определенную цифру. Задача состоит в том, чтобы определить, какие это цифры. Так как всего 10 цифр, то в каждой такой задаче может фигурировать не более 10 букв, в этом примере 8. В идеальном случае задача должна иметь единственное решение.

11

Вышлите побольше денег.

В нашем примере очевидно, что M = 1, так как М — первая цифра либо суммы S + М, либо S + M+1, где S и М — числа, не превосходящие числа 9. Тогда для числа S имеются две возможности:

S = 9 или S = 8,

так как либо S + 1, либо S + 1 + 1 есть двузначное число. Установим сначала, что S не может быть цифрой 8, ибо, если бы S было 8, то должен был бы быть перенос из колонки сотен, что дает

S + M + 1 = 8 + 1 + 1 = 10

при сложении в колонке сотен. Следовательно, О должно было бы быть нулем и наше послание читалось бы так:

8 Е N D

1 0 R Е

_________

1 0 N Е Y

Но, исследуя колонку сотен, находим, что обязательно должен быть перенос из колонки десятков (иначе Е + 0 = Е, а не N), и так как Е ≤ 9, то

E + 0 + 1 = 10.

Это вынудило бы нас положить N = 0, но мы уже знаем, что О = 0, поэтому такой случай невозможен, и мы заключаем, что S = 9, и послание теперь читается так:

9 Е N D

1 0 R E 

_________

1 0 N Е Y

Так как Е ≠ N, то сложение в колонке сотен приводит к условию E + 1 = N,

и

9 Е E+1 D

1 0 R Е

____________

1 0 E+1 Е Y

Сложение в колонке десятков дает либо

E + 1 + R = 10 + E,

либо E + 1 + R + 1 = 10 + E.

Первый случай невозможен, так как он дает R = 9, что противоречит тому, что S = 9. Во втором случае R = 8, и послание читается так:

9 Е Е+1 D

1 0 8 E

____________

1 0 E+1 Е Y

И наконец, сумма в колонке единиц такова:

D + E = 10 + Y.

Для трех букв D, E, Y остаются только значения 2, 3, 4, 5, 6, 7. Наибольшая сумма двух различных чисел из них равна 13. Отсюда существует всего две возможности для Y: либо Y = 2, либо Y = 3. Последний случай невозможен, так как при этом D + E = 13, но мы не можем иметь E = 7, так как тогда N = E + 1 = 8 = R; также не может быть D = 7, так как тогда E = 6 и N = E + 1 = 7 = D.

Таким образом, Y = 2 и D + E = 12. Из имеющихся цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7 единственной парой, в сумме дающей 12, являются 5 и 7. Так как Е ≠ 7, то это означает, что D = 7, Е = 5 и, таким образом, единственное решение нашей задачи следующее:

9 5 6 7

1 0 8 5

_________

1 0 6 5 2

Этот процесс довольно сложен, во многих случаях можно получить решение гораздо более простым путем.

Система задач 6.6.

1. Попытайтесь проанализировать следующие при-

меры только что показанным методом:

1. S Е N D

M O R E

G O L D

 _________

 M O N E Y

2. H O C U S

P O C U S

 ___________

 P R E S T O

3. F O R T Y

T E N

T E N

_________

S I X T Y

4. A D A M

A N D

E V E

A

_______

R A F T

5. S E E