Программирование игр и головоломок, Арсак Жак

Программирование игр и головоломок

на обложку

Арсак Жак

Шрифт:

22q+1 < n < 22q+2,

то единственное значение a, удовлетворяющее условию a2 > n/2, есть a = 2q+1, и для этого значения имеем a2 > n, что гарантирует остановку. Поскольку r = a– b, то а = r + b > r

и, следовательно, a2 > n.

Во втором случае

r = 2a– b и b < а, откуда а < 2a– b = r.

Таким образом, все три распознаваемые программой случая являются единственными возможными исходами программы, и каждый из них может произойти.

Таким образом, перед нами — очень забавный алгоритм, который дает значение квадратного корня, и который определяет случай, когда n не является корнем, но в этом случае не дает никакой дополнительной информации.

Программа заведомо останавливается при а = 2q+1, так что число шагов цикла не больше q– 1 (начиная с 4), причем q — логарифм квадратного корня из n по основанию 2. Таким образом, получилась программа порядка In n, что дает ту же сложность, что и обычный алгоритм, действующий кусками по две цифры. Но для этого последнего алгоритма нужен еще первый цикл, чтобы найти порядок величины n.

Головоломка 19.

Соотношение f(a, b) = f(b, a) следует из самой инициализации p и q:

p := max (a, b); q := min (a, b).

Эти две функции симметричны по a и b, и поэтому точно так же симметрична f. При анализе программы мы ограничены действиями, происходящими внутри цикла. Величины r и s являются вспомогательными переменными, которые не оставляют никакой проблемы. Трудность вызывают преобразования, проделываемые над p и q. Чтобы ясно увидеть эту трудность, осуществим введение новых переменных без разрушения старых. Перепишем наш цикл:

ПОКА q >= eps ВЫПОЛНЯТЬ

r := (q/p)2; s := r/(r + 4)

p' := (2 * s + 1) * p; q' := s * q

p := p'; q := q'

ВЕРНУТЬСЯ

Рассмотрим действия этой программы, производимые над данными a, b с одной стороны и над ac, bc с другой.

Когда мы входим в цикл, то и p, и q умножаются на с при переходе от первого вычисления ко второму.

Это не меняет величины r и, следовательно, не меняет величины s. Таким образом, p и q

в этих вычислениях умножаются на одни и те же сомножители, так что значения p', q' во втором вычислении получаются из значений p, q в первом вычислении умножением их обоих на c. Следовательно, мы еще раз входим в цикл при том же соотношении между входными данными; следовательно, это соотношение будет иметь место при каждом входе в цикл, и, следовательно, также и на выходе из цикла. Отсюда получаем, что f(ac, bc) = cf(a, b).

Выполнение программы для вычисления g(x) = f(x, 1) с x = 1 и eps = 10– 5 дает мне результат, равный 1.4142.

Дальше считать бесполезно, это 2.

Я немедленно изменяю программу, чтобы она выполняла вывод не только величины g, но также и g2. Я получаю:

x g2(x)

1 2

2 5

3 10

4 17

Нет возможности сомневаться: g(х) = х2 + 1.

Перенося эту формулу в соотношение между f и g, мы видим, проделав все вычисления, что

f (a, b) = a2 + b2.

«Осталось только» доказать это. Мы не можем доверять заверениям программистов, утверждающих, что их программа делает то-то и то-то. При входе в цикл p и q имеют значения а и b в каком-то порядке, поэтому

p2 + q2 = a2 + b2.

Что происходит с величиной p2 + q2 после изменений, которым p и q подвергаются в цикле? Вычислим p'2 + q'2:

p'2 + q'2 = (2s + 1)2p2 + s2q2 = s2 (4р2 + q2) + 4sp + р2.