Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
Если бы у нас была сотня карт, то полное нависание составляло бы
1/ 2•(1 + 1/ 2+ 1/ 3+ 1/ 4+ 1/ 5+ 1/ 6+ 1/ 7+ 1/ 8+ … + 1/ 99).Имея
Чтобы посчитать такое, требуется проделать немало арифметических действий, но у математиков есть способы спрямлять подобные вычисления, и я могу твердо заверить вас, что полное нависание в случае сотни карт будет лишь чуточку меньше, чем 2,58868875882, а для триллиона карт — на самую толику меньше, чем 14,10411839041479.
Полученные числа удивительны вдвойне. Во-первых, тем, что вообще удается добиться нависания в 14 с лишним карточных длин, пусть даже для этого понадобится триллион карт. Четырнадцать карточных длин — это более четырех футов, если брать стандартные игральные карты. А во-вторых, если об этом подумать, тем, что числа оказываются именно такими, а не большими. При переходе от 52 к 100 картам мы заработали дополнительное нависание лишь в одну треть длины карты (даже чуть-чуть меньше, чем в одну треть). А затем переход к триллиону — а колода в триллион стандартных игральных карт будет иметь такую толщину, что покроет большую часть расстояния до Луны, — принес нам всего лишь одиннадцать с половиной карточных длин.
Ну а если бы число карт у нас было неограниченным? Какого максимального нависания мы могли бы достичь? Замечательный ответ на этот вопрос состоит в том, что максимального нависания просто нет. Если в запасе имеется достаточное число карт, можно сделать нависание сколь угодно большим. Желаете получить нависание в 100 карточных длин? Пожалуйста, возьмите что-то около 405 709 150 012 598 триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов триллионов карт — колоду, высота которой намного превысит размеры известной нам части Вселенной. А можно сделать и большее нависание, и еще большее — настолько большое, насколько захотите, если только у вас есть желание иметь дело с невообразимо большим числом карт. Нависание в миллион карт? Пожалуйста, но, правда, количество необходимых для этого карт будет таким большим, что только для записи этого числа понадобится нормального размера книга — в этом числе будет 868 589 цифр.
Теперь нам предстоит сосредоточить свое внимание на выражении в скобках, а именно
1 + 1/ 2+ 1/ 3+ 1/ 4+ 1/ 5+ 1/ 6+ 1/ 7+ ….Математики говорят, что это — ряд; ряд означает неограниченно продолжающееся суммирование членов, каждый из которых задается некоторым общим законом. В нашем случае члены ряда 1, 1/ 2, 1/ 3, 1/ 4, 1/ 5, 1/ 6, 1/ 7, … — это обратные величины к обычным натуральным числам 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ….
Ряд 1 + 1/ 2+ 1/ 3+ 1/ 4+ 1/ 5+ 1/ 6+ 1/ 7+ … играет в математике достаточно
Подведем промежуточный итог. Складывая достаточно большое число членов гармонического ряда, можно получить сколь угодно большой результат. У этой суммы нет предела.
Грубый, но распространенный и доходчивый способ выразить то же самое — это сказать, что гармонический ряд суммируется к бесконечности:
1 + 1/ 2+ 1/ 3+ 1/ 4+ 1/ 5+ 1/ 6+ 1/ 7+ … = .Хорошо воспитанных математиков учат морщиться при виде таких выражений; но я думаю, что с ними вполне можно иметь дело, если знать опасности, которые вас тут подстерегают. Леонард Эйлер, один из величайших математиков всех времен, использовал подобные выражения постоянно и весьма плодотворно. Но все же правильный, профессиональный математический термин, описывающий то, что здесь происходит, звучит так: гармонический ряд расходится.
Сказать-то я это сказал, но смогу ли я это доказать? Всем известно, что в математике каждый результат надо строго логически доказывать. Результат у нас такой: гармонический ряд расходится. Как его доказать?
Доказательство оказывается довольно простым и опирается только на самую элементарную арифметику. В Средние века его нашел французский ученый Никола Орем (ок. 1323-1382). [1] Орем заметил, что сумма 1/ 3+ 1/ 4больше чем 1/ 2; равным образом и 1/ 5+ 1/ 6+ 1/ 7+ 1/ 8также больше чем 1/ 2; то же верно и для суммы 1/ 9+ 1/ 10+ 1/ 11+ 1/ 12+ 1/ 13+ 1/ 14+ 1/ 15+ 1/ 16. Другими словами, будем брать сначала 2, потом 4, потом 8, потом 16 и т.д. членов гармонического ряда и группировать их вместе; получится бесконечное число таких групп, каждая из которых в сумме превосходит одну вторую. Полная сумма, следовательно, должна быть бесконечной. Не стоит переживать из-за того, что размеры этих групп растут очень быстро: «в бесконечности» полно места, и неважно, сколько групп мы уже образовали, следующая все равно окажется на своем месте и к нашим услугам. Всегда есть возможность добавить еще одну а это и означает, что сумма растет неограниченно.
1
Никола Орем(Nicole d'Oresme) был не только математиком, но и естествоиспытателем, философом, физиком, астрономом и экономистом, а также воспитателем Дофина, будущего короля Карла V. (Примеч. перев.)
Данное Оремом доказательство расходимости гармонического ряда, по-видимому, пролежало невостребованным в течение нескольких столетий. Пьетро Менголи передоказал этот же результат в 1647 году с помощью другого метода. Сорок лет спустя Иоганн Бернулли дал доказательство еще одним, третьим, способом, а вскоре после того старший брат Иоганна Якоб предложил четвертый способ. Судя по всему, ни Менголи, ни братья Бернулли не знали о найденном в XIV веке доказательстве Никола Орема — одном из хорошо забытых шедевров средневековой математики. Тем не менее доказательство Орема остается наиболее прямым и изящным среди всех доказательств, и его, как правило, и приводят в современных учебниках.
В рядах изумляет не то, что некоторые из них расходятся, а то, что так делают не все ряды. Когда мы складываем бесконечное число слагаемых, разве мы не вправе ожидать, что и ответ будет бесконечен? То, что это не всегда так, легко проиллюстрировать.
Возьмем линейку, на которой делениями отмечены четверти, восьмые, шестнадцатые и т.д. (чем дальше, тем лучше — я изобразил линейку, на которой отмечены доли в одну шестьдесят четвертую). Поставим остро заточенный карандаш у самого первого деления на линейке — нуля. Подвинем карандаш на один дюйм вправо. Теперь карандаш указывает на деление, обозначающее один дюйм, а переместили карандаш мы также на один дюйм (рис. 1.7).