Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:
Рисунок 1.7.
Вслед за тем сдвинем карандаш вправо еще на полдюйма (рис. 1.8).
Рисунок 1.8.
Далее сдвинем еще на четверть дюйма вправо, потом на восьмую часть дюйма, потом на шестнадцатую, на тридцать вторую и на шестьдесят четвертую. Где теперь находится карандаш, видно на рисунке 1.9.
Рисунок 1.9.
А полное расстояние, на
что, как нетрудно посчитать, составляет 1 63/ 64. Понятно, что если продолжать в том же духе, то мы всякий раз будем оказываться все ближе и ближе к двухдюймовой отметке. Точно на нее мы никогда не попадем, но нет предела тому, насколько близко к ней можно подобраться. Можно приблизиться менее чем на миллионную долю дюйма, можно на триллионную; или на триллион триллион триллион триллион триллион триллион триллион триллион триллионную. Этот факт выражается таким образом:
1 + 1/ 2+ 1/ 4+ 1/ 8+ 1/ 16+ 1/ 32+ 1/ 64+ 1/ 128+ … = 2. (1.1)Здесь имеется в виду, что слева от знака равенства выполняется суммирование бесконечного числа членов.
Важно осознать разницу между гармоническим рядом и этим новым рядом. В случае гармонического ряда сложение бесконечного числа слагаемых дало бесконечный результат. Здесь же сложение бесконечного числа слагаемых дает ответ 2. Гармонический ряд расходится.Наш новый ряд сходится.
В гармоническом ряде есть свое очарование, и он имеет прямое отношение к главной теме данной книги — Гипотезе Римана. Но вообще-то математиков больше интересуют сходящиеся ряды, нежели расходящиеся.
Предположим теперь, что вместо того, чтобы передвигаться направо на один дюйм, потом на полдюйма, потом на четверть дюйма и т.д., мы будем менять направление: дюйм вправо, полдюйма влево, четверть дюйма вправо, одна восьмая дюйма влево… После семи шагов мы попадем в точку, показанную на рисунке 1.10.
Рисунок 1.10.
С математической точки зрения сдвиг налево означает сдвиг направо на отрицательную величину, и поэтому наши передвижения выражаются такой суммой:
1 - 1/ 2+ 1/ 4– 1/ 8+ 1/ 16– 1/ 32+ 1/ 64,что на самом деле равно 43/ 64. В действительности несложно доказать — и мы это сделаем в одной из последующих глав, — что если продолжать прибавлять и вычитать до бесконечности, то результат будет таким:
1 - 1/ 2+ 1/ 4– 1/ 8+ 1/ 16– 1/ 32+ 1/ 64– 1/ 128+ … = 2/ 3. (1.2)Теперь
Рисунок 1.11.
Совсем несложно убедиться, что если продолжать такую операцию до бесконечности, то получится полная сумма в 1 1/ 2дюйма. Другими словами,
1 + 1/ 3+ 1/ 9+ 1/ 27+ 1/ 81+ 1/ 243+ 1/ 729+ 1/ 2187+ … = 1 1/ 2. (1.3)А можно, конечно, и на нашей новой линейке менять направление движения: направо на дюйм, налево на треть, направо на одну девятую, налево на одну двадцать седьмую и т.д. (рис. 1.12).
Рисунок 1.12.
Соответствующая арифметика, возможно, не так уж прозрачна, но, как бы то ни было, результат имеет вид
1 - 1/ 3+ 1/ 9– 1/ 27+ 1/ 81– 1/ 243+ 1/ 729– 1/ 2187+ … = 3/ 4. (1.4)Итак, у нас имеются четыре сходящихсяряда: первый (1.1) подкрадывается слева все ближе и ближе к 2, второй (1.2) приближается к 2/ 3попеременно то слева, то справа, третий (1.3) подбирается слева все ближе и ближе к 1 1/ 2, а четвертый (1.4) приближается к 3/ 4попеременно то слева, то справа. А перед этим мы познакомились с одним расходящимсярядом — гармоническим.
При чтении математической литературы полезно знать, в какой области математики вы находитесь — какую часть из этого обширного предмета изучаете. Та область, где обитают бесконечные ряды, в математике называется анализом [2] . Обычно считается, что анализ занимается изучением бесконечного, т.е. бесконечно большого и бесконечно малого (инфинитезимального). Когда Леонард Эйлер — о котором будет много всего сказано ниже — в 1748 году опубликовал свой превосходный первый учебник по анализу, он назвал его просто Introductio in analys in infinitorum —«Введение в анализ бесконечного».
2
Стандартным русским словосочетанием является также математический анализ(или матанализ, как говорят, например, все те студенты, которые не называют его просто матаном). В переводе в подавляющем большинстве случаев оставлен просто «анализ», чего достаточно для передачи сути дела. Соответственно, прилагательное «аналитический» означает «[изучаемый или выраженный] средствами анализа». (Примеч. перев.)