Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.

Дербишир Джон

Комплексные числа по-настоящему прекрасны. С ними можно делать все, что угодно. Можно даже возводить их в комплексные степени, если вы полностью отдаете себе отчет в том, что делаете. Например, (-7 - 4 i) ^{– 2+5 i}равно приблизительно -7611,976356 + 206,350419 i. Однако подробное обсуждение этой темы мы отложим до другого момента.

V.

Чего нельзясделать с комплексными числами, так это уложить их на прямую, как вещественные.

Семейство вещественных чисел R(конечно, с содержащимися в нем Q, Zи N) очень легко себе представить. Просто выстроим все числа вдоль прямой линии. Этот способ представления вещественных чисел называется «вещественная прямая» (рис. 11.1).

Рисунок 11.1.Вещественная

прямая.

Каждое вещественное число лежит где-то на этой прямой. Например, 2 расположен немного к востоку от 1, чуть ближе, чем на полпути до 2, – лежит лишь немного к западу от -3, а 1 000 000 — за пределами рисунка, где-то в соседнем районе. Ясно, что на конечном листе бумаги удается показать только часть прямой. От читателя требуется известная доля воображения.

Вещественная прямая представляется вещью очевидной, но в действительности дело с ней обстоит довольно серьезно и не лишено тайны. Рациональные числа, например, «всюду плотны» на ней. Это значит, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще одно. А это означает, что между любыми двумя рациональными числами найдется еще бесконечно многорациональных. (Ну правда: если между aи bгарантированно живет c, то между aи c, а также между cи bгарантированно имеется некое dи некое e… и т.д., без конца.) Ладно, это почти удается себе представить. Но где же тогда помещаются иррациональные числа? Кажется, что им приходится как-то втискиваться между рациональными числами, которые, как мы только что видели, уже сидят всюду плотно! Всюду плотно — но при этом расселение еще не закончено.

Возьмем последовательность из главы 1.vii, которая сходится к 2, например ¹/ ₁, ³/ ₂, ⁷/ ₅, ¹⁷/ ₁₂, ⁴¹/ ₂₉, ⁹⁹/ ₇₀, ²³⁹/ ₁₆₉, ⁵⁷⁷/ ₄₀₈, ¹³⁹³/ ₉₈₅, ³³⁶³/ ₂₃₇₈, …. Ее члены по очереди делаются то меньше, то больше, чем 2, так что ¹³⁹³/ ₉₈₅меньше, чем 2 примерно на 0,000000036440355, a ³³⁶³/ ₂₃₇₈больше примерно на 0,00000006252177. Между этими двумя дробями втиснуто еще бесконечно много других дробей… и тем не менее где-то там остается место для 2. И не для одного только 2, а для бесконечного количества других иррациональностей!

Поражает не просто то, что иррациональностей бесконечно много, и не то, что и они тоже всюду плотны, но тот факт, что имеется строгий математический смысл в утверждении, что иррациональных чисел куда больше,чем рациональных. Это показал в 1874 году Георг Кантор. Число рациональных чисел бесконечно, и число иррациональных чисел тоже бесконечно, но вторая бесконечность больше первой. Как, черт возьми, все они умещаются на вещественной прямой? Как может столь непредставимо грандиозное количество иррациональных чисел втиснуться между рациональными, если те и так уже всюду плотны?

У нас здесь нет места, чтобы вдаваться в эти вещи. Мой совет — не думать о них слишком много. Это путь в безумие. (Действительно, Кантор закончил свои дни в лечебнице, хотя это и было в большей степени результатом врожденной предрасположенности к депрессии, усугубленной трудностями, с которыми его теории пробивались к признанию, нежели результатом слишком усердных размышлений о вещественной прямой. Его теории сейчас не подвергаются серьезным сомнениям.)

Но куда же нам теперь поместить комплексные числа? Вещественная прямая вся забита — и как забита! — рациональными и иррациональными числами. А ведь для каждого вещественного aимеется бесконечно много комплексных чисел вида a + bi,где bсвободно бегает себе вверх и вниз по вещественной прямой. Что же с ними делать?

Последнее замечание подсказывает ответ. Для

каждого вещественного числа нам нужна прямая, а поскольку вещественных чисел бесконечно много, нам нужно бесконечно много таких прямых бок о бок друг с другом. Это означает, что нам требуется плоскость. Тогда как вещественные числа можно выстроить для парада вдоль прямой, для комплексных чисел требуется плоскость — которую, разумеется, называют «комплексной плоскостью». Каждое комплексное число изображается точкой где-то на этой плоскости.

Рисунок 11.2.Комплексная плоскость и точка zна ней (изображена точка -2,5 + 1,8 i); показаны ее модуль и фаза, а также сопряженное число.

Чаще всего комплексную плоскость рисуют так (рис. 11.2) что, вещественная прямая простирается с запада на восток. Под прямым углом к ней в направлении с юга на север проведена другая прямая, на которой живут все чисто мнимые числа: i, 2 i, 3 iи т.д. Чтобы добраться до числа a + bi,надо уйти на расстояние aна восток (на запад, если aотрицательно), а затем на расстояние bна север (на юг, если bотрицательно). Вещественная прямая и мнимая прямая (их чаще называют «вещественная ось» и «мнимая ось») пересекаются в нуле. Точки на вещественной оси имеют нулевую мнимую часть. Точки на мнимой оси имеют нулевую вещественную часть. Точка их пересечения — т.е. точка, расположенная на обеих осях, — имеет и вещественную, и мнимую части равными нулю. Это точка 0 + 0 i, т.е. попросту нуль.

Введем три новых профессиональных термина. Модулькомплексного числа — это расстояние по прямой от этого числа до нуля. Обозначается модуль как |z|, что произносится «модуль зет». По теореме Пифагора модуль комплексного числа a + biесть

. Это всегда положительное вещественное число или нуль. Фазакомплексного числа — это угол, составленный с положительной частью вещественной оси, измеряемый в радианах. (Один радиан равен 57,29577951308232… градуса; 180 градусов — это радиан.) Фазу по соглашению считают углом, лежащим между – (не включая) до (включая), а обозначается она как (z). [93] У положительных вещественных чисел фаза равна нулю, у отрицательных вещественных она равна – , у положительных мнимых равна /2, а у отрицательных мнимых фаза равна – /2.

93

В наше время фазу чаще называют «аргументом» и обозначают Arg( z). Я использовал старое название (в оригинале «amplitude» и Am( z) — пер.),отчасти из уважения к Г.Х. Харди (см. главу 14.ii), а отчасти чтобы избежать путаницы со словом «аргумент» для обозначения «числа, к которому применяется функция». (В переводе, следуя желанию автора избежать подобной путаницы, использован термин «фаза», который несет в себе некоторые «физические» коннотации, но в целом достаточно ясно указывает на то, что он призван обозначать. — Примеч. перев.)

И наконец, комплексным сопряжениемкомплексного числа называется его зеркальное отображение относительно вещественной оси. Комплексное сопряжение числа a + biесть a - bi. Обозначается оно как z', что произносится как «зет-с-чертой». ^{2} Если перемножить комплексное число с его сопряженным, то получится вещественное число: (a + bi)x(a - bi) = a ² + b ², что, как видно, есть квадрат модуля числа a+ bi. На этом и основан фокус, позволяющий делить комплексные числа. Используя введенные обозначения, можно записать zxz' = |z| ², а фокус с делением выражается как z/w = (zxw')/|w| ².