Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике.
Шрифт:

Как бы то ни было, Гильберт пользовался уважением своих студентов и коллег-математиков. Про него имеется обширное собрание анекдотов, по большей части незлых. Вот только три. Первый касается Гипотезы Римана и взят из англоязычной биографии, написанной Констанс Рид [99] :

У Гильберта был студент, который однажды показал ему работу, претендующую на доказательство Гипотезы Римана. Гильберт тщательно изучил работу; на него произвела большое впечатление глубина аргументации. Но, увы, он обнаружил там ошибку, которую даже он сам не смог устранить. На следующий год студент умер. Гильберт попросил у охваченных горем родителей разрешения выступить с речью на похоронах. Родственники и друзья студента рыдают под дождем возле могилы; Гильберт выходит вперед. Он начинает со слов о том, какая это большая трагедия, что такой одаренный молодой человек умер прежде, чем ему представилась возможность продемонстрировать, чего он в состоянии достичь. Но, продолжает Гильберт, несмотря на то что предложенное этим молодым человеком доказательство

Гипотезы Римана содержало ошибку, возможно тем не менее, что однажды доказательство этой знаменитой проблемы будет получено именно на том пути, который наметил покойный. «И в самом деле, — с энтузиазмом продолжал Гильберт, стоя под дождем возле могилы студента, — рассмотрим функцию одной комплексной переменной…»

99

Рид К.Гильберт. С приложением обзора Германа Вейля математических трудов Гильберта. М.: Наука, 1977. (Примеч. перев.)

Второй анекдот я позаимствовал из книги «Универсальный компьютер» Мартина Дэвиса.

Гильберт каждый день появлялся в порванных брюках, что многих смущало. Задачу тактично сообщить Гильберту об этом возложили на его ассистента Рихарда Куранта. Зная о том, какое удовольствие Гильберту приносят длинные прогулки по пересеченной местности, сопровождаемые разговорами о математике, Курант пригласил его пройтись. Устроив при этом так, что им пришлось продираться через заросли колючих кустов, Курант тогда и сказал Гильберту, что тот, похоже, порвал свои брюки об один из таких кустов. «Да нет же, — ответил Гильберт, — они такие уже не одну неделю, хотя никто этого и не замечает».

Третий анекдот апокрифичен, хотя, весьма вероятно, правдив.

Один из студентов Гильберта перестал появляться на занятиях. Поинтересовавшись причиной этого, Гильберт получил ответ, что студент ушел из университета, решив стать поэтом. «Не могу сказать, что я удивлен. Мне всегда казалось, что у него недостаточно воображения, чтобы стать математиком».

Гильберт, между прочим, не был евреем, хотя имя, которым он был наречен, необычное среди немецких христиан, навлекло на него подозрения при Гитлере. Предки Гильберта по отцовской линии относились к фундаменталистской протестантской секте, называемой пиетистами, которые питали пристрастие к Ветхому Завету и к именам-наставлениям. Деда Гильберта звали ни много ни мало Давид Фюрхтеготт Леберехт (т.е. Бойся Бога Живи Праведно) Гильберт.

II.

Констанс Рид так описывает Гильберта во время его выступления на конгрессе 1900 года:

Человеку, который вышел в то утро к трибуне, не было еще сорока; среднего роста и сложения, жилистый, быстрый в движениях, с выступающим высоким лбом, лысый, с отдельными клоками все еще рыжеватых волос. Очки твердо сидели на крупном носу. У него была небольшая борода, растущие в легком беспорядке усы, а под ними рот, неожиданно широко очерченный для столь аккуратного подбородка. Яркие глаза глядели невинно, но твердо из-под сверкающих линз очков.

Гильберт выступил со своим докладом, сделанным по-немецки, в душном актовом зале Сорбонны. Всего на конгрессе было 250 участников, но вряд ли все они присутствовали на выступлении Гильберта утром 8 августа.

Его доклад был озаглавлен «Математические проблемы». Слова, которыми он открывался, стали так же близки математикам XX столетия, как Геттисбергская речь — американским школьникам. [100] «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия?» Гильберт продолжал говорить о том, как важны трудные проблемы, которые концентрируют внимание математиков, способствуя созданию новых направлений развития и новых знаковых систем, и которые также ведут математиков ко все более и более высоким уровням обобщения. Он закончил выступление списком из 23 проблем, «исследование которых может значительно стимулировать дальнейшее развитие науки».

100

Геттисбергская речьАвраама Линкольна 19 ноября 1863 г. на месте одного из сражений войны между Севером и Югом — одна из вершин политического красноречия. Эта короткая (из десяти предложений) речь оказала огромное воздействие на американцев и считается одной из наиболее известных и часто цитируемых речей на английском языке. (Примеч. перев.)

Мне хотелось бы отправиться с вами в обзорное путешествие по 23 проблемам Гильберта. [101] Но тогда эта книга станет недопустимо длинной. А кроме того, имеется обширная, приспособленная к различным уровням понимания литература, с помощью которой такое путешествие осуществимо. [102] Я лишь замечу попутно, что самая первая из проблем Гильберта относилась к упоминавшейся в предыдущей главе континуум-гипотезе, которая посвящена самой сути запутанного вопроса о природе вещественных чисел и возражениям, выдвигавшимся против них Кронеккером. О континуум- гипотезе также имеется обширная литература. Хорошая библиотека или хороший интернет-поисковик вполне удовлетворят любопытство любого, кто захочет обратиться к этой завораживающей

задаче. [103]

101

На самом деле Гильберт представил аудитории 10 из этих проблем, поскольку те, кто заранее прочел печатный вариант его доклада, посоветовали ему сократить устный вариант. Все 23 проблемы перечислены в печатном варианте, и на них обычно ссылаются именно по номеру в этой работе. Те проблемы, которые он в действительности огласил собравшейся в Сорбонне аудитории, имеют номера 1, 2, 3, 7, 8, 13, 16, 19, 21 и 22. Дополнительная путаница возникает из-за того, что некоторые из 23 пунктов, которые выделил Гильберт, всего лишь очерчивают области исследований и небезоговорочно являются проблемами. Характерен пункт 2: «Исследовать согласованность аксиом арифметики». Этим могут объясняться различные схемы нумерации проблем Гильберта, которые может встретить читатель. Например, Эндрю Ходжес в своей биографии Алана Тьюринга насчитывает 17 проблем Гильберта, а не 23, причем доказательство Гипотезы Римана приводится под номером 4, а не 8. Те из выделенных Гильбертом пунктов, которые составляют четко определенные проблемы, в настоящее время все решены, за единственным исключением Гипотезы Римана.

102

Лучший из таких известных мне рассказов длиною в книгу — это The Hilbert ChallengeДжереми Дж. Грея.

103

Хорошее популярное изложение можно найти в книге Джона Л. Касти Mathematical Mountaintops. Oxford University Press (2001).

Только одна из проблем Гильберта — восьмая — имеет прямое отношение к теме нашей книги. Вот она — в переводе Мэри Уинстон Ньюсон из Bulletin of the American Mathematical Society [104] :

8. Проблемы простых чисел

В теории распределения простых чисел в последнее время сделаны существенные сдвиги Адамаром, Валле Пуссеном, Мангольдтом и другими. Для полного решения проблемы, поставленной в исследовании Римана «О числе простых чисел, не превышающих данной величины», необходимо прежде всего доказать справедливость исключительно важного утверждения Римана: все нули функции (s),определяемой рядом

104

Перевод с немецкого М.Г. Шестопал и А.В. Дорофеевой по изданию: Проблемы Гильберта: Сб. под общ. ред. П.С. Александрова. М.: Наука, 1969. (Примеч. перев.)

имеют вещественную часть, равную 1/ 2, если не считать известных отрицательных целочисленных нулей. Как только это доказательство будет получено, то дальнейшая задача будет заключаться в том, чтобы использовать бесконечный ряд Римана для более точного определения числа простых чисел и в особенности выяснить, будет ли разность между числом простых чисел, меньших данного числа x, и интегральным логарифмом от x действительно не выше половинного порядка при неограниченно возрастающем x.Далее, действительно ли те члены формулы Римана, которые зависят от первых комплексных нулей функции (s),обусловливают сгущение простых чисел, которое обнаружено при подсчете числа простых чисел.

Тем читателям, которые до сих пор не потеряли нить, этот пассаж должен быть понятен хотя бы отчасти. Я надеюсь, что все целиком приобретет смысл, когда мы доберемся до конца книги. Сейчас главное для нас — тот факт, что Гипотеза Римана рассматривалась как один из 23 больших и сложных вопросов, стоящих перед математиками в XX столетии, и именно так ее рассматривал Давид Гильберт— вероятно, величайший среди математиков, активно работавших в 1900 году. [105]

105

Большинство математиков того времени присвоили бы этот титул Анри Пуанкаре (1854-1912). Венгерская академия наук так и поступила, наградив Пуанкаре своей первой премией Бойаи как «математика, достижения которого за последние 25 лет внесли наибольший вклад в прогресс математики». Вторая премия Бойаи была присуждена в 1910 г. Гильберту.

III.

В главе 10.iii мы кратко упомянули причину, определявшую важность Гипотезы Римана на рубеже столетия. Основным фактором было то, что Теорема о распределении простых чисел была к этому моменту доказана. С 1896 года с математической точностью было известно, что (N) ~Li (N), и всеобщее внимание было приковано к этому значку «волны» посередине. Да, по мере того как Nнеограниченно растет, делаясь все больше и больше, (N)пропорциональным образом становится все ближе и ближе к Li (N). Но какова природа этой близости? Нельзя ли указать лучшее приближение? И вообще, насколько приближенно это приближение? Каков «остаточный член»?

Поделиться:
Популярные книги

Черный Маг Императора 11

Герда Александр
11. Черный маг императора
Фантастика:
юмористическое фэнтези
попаданцы
аниме
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Черный Маг Императора 11

Беглец

Бубела Олег Николаевич
1. Совсем не герой
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
8.94
рейтинг книги
Беглец

Зубных дел мастер

Дроздов Анатолий Федорович
1. Зубных дел мастер
Фантастика:
научная фантастика
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Зубных дел мастер

Барон Дубов 4

Карелин Сергей Витальевич
4. Его Дубейшество
Фантастика:
юмористическое фэнтези
аниме
сказочная фантастика
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Барон Дубов 4

Хозяин Теней 3

Петров Максим Николаевич
3. Безбожник
Фантастика:
попаданцы
аниме
фэнтези
фантастика: прочее
5.00
рейтинг книги
Хозяин Теней 3

Первый среди равных. Книга II

Бор Жорж
2. Первый среди Равных
Фантастика:
попаданцы
аниме
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Первый среди равных. Книга II

Имперец. Земли Итреи

Игнатов Михаил Павлович
11. Путь
Фантастика:
героическая фантастика
боевая фантастика
5.25
рейтинг книги
Имперец. Земли Итреи

Убивать чтобы жить 3

Бор Жорж
3. УЧЖ
Фантастика:
героическая фантастика
боевая фантастика
рпг
5.00
рейтинг книги
Убивать чтобы жить 3

Инженер Петра Великого

Гросов Виктор
1. Инженер Петра Великого
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Инженер Петра Великого

Черный Маг Императора 7 (CИ)

Герда Александр
7. Черный маг императора
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Черный Маг Императора 7 (CИ)

Чужбина

Седой Василий
2. Дворянская кровь
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
5.00
рейтинг книги
Чужбина

Убийца

Бубела Олег Николаевич
3. Совсем не герой
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
9.26
рейтинг книги
Убийца

Пустоцвет

Зика Натаэль
Любовные романы:
современные любовные романы
7.73
рейтинг книги
Пустоцвет

Темный Лекарь 6

Токсик Саша
6. Темный Лекарь
Фантастика:
аниме
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Темный Лекарь 6