Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной
Шрифт:
Посмотрев на часы во время полета, Боб не заметил бы отклонений. Стрелка бы двигалась, как и всегда: секунда за секунду. Ведь Боб и его часы движутся вместе по одной траектории в пространстве-времени, а значит, и собственное время у них одинаково. И сердце у Боба стучало бы так же, как если бы он никуда не летел. (А если и учащалось бы — только из-за восторга от близости к звездам, что можно понять.)
Возможно, вы возразите: как бы там ни было, время замедлилось. В конце концов, к возвращению Боба Алиса стала гораздо старше, чем он. Как же так?
Чтобы понять, что часы близнецов идут по-разному, нам нужно их как-то сравнить. И в этом проблема. Если бы они лежали на столе рядом, мы бы могли смотреть на них. Но на большом расстоянии
Вы скажете: это же чисто техническая проблема. Мы можем как-то решить этот досадный вопрос с запаздыванием сигналов. Что же, попробуйте. Я сразу скажу: сравнивать что угодно мгновенно и с абсолютной точностью невозможно. Это противоречит самой природе.
Правильный путь — оставить в покое идею сравнения часов. Отставание по времени совершенно нормально и соответствует теории относительности. Нашим глазам и чувствам открыта лишь малая часть этого мира. Мы не имеем полной его картины, а значит, не вправе считать, что он устроен именно так, как мы его видим.
Пространство-время Минковского
Мы долго предавались словесным рассуждениям. Настало время для уравнений.
Как нам уже известно, время, измеренное движущимся в пространстве-времени хронометром, аналогично показаниям одометра, то есть расстоянию, пройденному по траектории в обычном пространстве. Нужно бы нарастить на этот скелет немного численного мясца. Поэтому мы задумаемся о том, как измеряется расстояние.
Ответ нам дают Пифагор и его теорема. В прямоугольном треугольнике один из внутренних углов равен 90°, а длинная сторона, которая лежит напротив него, называется гипотенузой. По теореме Пифагора квадрат ее длины равен сумме квадратов двух других сторон: a2 + b2 = c2. Это свойство весьма интересно само по себе и приводит в восторг любителей геометрии. Крайне важно оно и для нас, определяющих положение в пространстве в декартовых координатах.
Рассмотрим для простоты изложения двумерное пространство, координаты в котором мы по традиции обозначим за x и y. Мы можем четко определить расстояние d между любыми двумя точками в этом пространстве. Построим для этого прямоугольный треугольник: начнем из первой точки и будем двигаться в направлении x (по горизонтали), пока не поравняемся со второй точкой, а затем в направлении y (по вертикали), пока не дойдем до нее. В этом треугольнике длины коротких сторон будут равны ?x и ?y, а длина гипотенузы и будет нужным нам расстоянием d. (Напомню, что греческая буква дельта показывает изменение стоящей за ней переменной.) Поэтому, согласно теореме Пифагора, расстояние между двумя точками можно выразить через изменение координат:
d 2 = (?x)2 + (?y)2. (6.1)
Скорее всего, вам это известно. Отличная новость в том, что практически все то же самое работает и в пространстве-времени. Я говорю «практически», так как есть одно важное изменение: в пространстве-времени в теорему Пифагора прокрадывается знак «минус». Именно он и виновен в том, что
Возьмем теперь упрощенное двумерное пространство-время, в котором будет одна координата x для пространства и координата t для времени. Представим в нем прямую линию между двумя событиями (рассмотрим движение с постоянной скоростью). Обозначим собственное время, которое измеряется взятыми в путь часами, греческой буквой тау (?). Как и в прошлый раз, обозначим изменение координат за ?x для пространства и ?t для времени.
Отличительная особенность пространства-времени Минковского — дома, в котором живет и действует специальная теория относительности, — состоит том, что собственное время можно определить по формуле, похожей на теорему Пифагора, но в которой пространственный компонент является не слагаемым, а вычитаемым:
? 2 = (?t)2 — (?x)2. (6.2)
Это простое уравнение сообщает нам очень много о том, как работает пространство-время (в общем-то большего знать и не надо). Возьмем неподвижного наблюдателя. В придуманной нами системе координат он будет двигаться во времени, сохраняя свое положение в пространстве. Поэтому для него ? 2 = (?t)2, то есть ? = ?t. Собственное время неподвижного наблюдателя строго совпадает с разностью координат по оси времени. Именно к этому мы и привыкли в обычной жизни.
Совсем по-другому идут дела у тех, кто куда-то бежит. Для них ?x не будет равно нулю, а значит, их собственное время будет меньше, чем у неподвижного наблюдателя за счет того самого знака «минус» из формулы (6.2). Так теория относительности навязывает нам сделку: чем больший путь в пространстве проходим мы, двигаясь от события к событию, тем меньше проходит для нас времени.
Пока что мы говорили лишь о прямых траекториях. На самом деле мы ими не ограничены и можем записать уравнение для любой мировой линии. Догадываетесь как? Для этого нужно записать выражение (6.2) в бесконечно малых величинах, а затем применить высшую математику. Для начала получим
d? 2 = dt2 — dx2. (6.3)
Чтобы вычислить собственное время, затраченное на движение по траектории, нужно взять интеграл ?? = ?d?.
Есть мнение, что специальная теория относительности работает только для равномерного движения, а при ускоренном не обойтись без общей. Ерунда. Общая теория относительности приобретает важность в искривленном пространстве-времени, где действует гравитация. В плоском пространстве-времени, которое предложил Минковский, а мы — рассматриваем в этой главе, действует специальная теория, но траектории могут быть любыми.
Скорость света
Время покаяться. Мы немного схитрили, изменяя теорему Пифагора и выводя уравнения (6.2) и (6.3). Вспомните про анализ размерности. Физические величины можно складывать только при том условии, что они выражаются в одних и тех же единицах измерения. Но ?2 и (?t)2 — это квадраты времени, а ?x2 — квадрат расстояния. О чем мы думали, вычисляя их разность?