Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной
Шрифт:
Важнейшая особенность многообразий заключается в том, что они не обязаны находиться внутри какого-то другого пространства, даже если в нашем представлении это именно так. Изображая двумерное многообразие, например сферу или тор, мы думаем именно о двумерной поверхности, а не о трехмерном теле, форму которого оно принимают. Такое представление — лишь артефакт того, как мы, трехмерные существа, представляем себе окружающие нас вещи. Многообразия имеют четко определенную топологию и геометрию сами по себе. Их следует рассматривать изнутри, а не снаружи.
Обобщая
Теперь нам нужно понять, как определить геометрию многообразия, оперируя только внутренними понятиями, которые мы можем измерить с позиции внутреннего же наблюдателя. Как это сделать? Вариантов может быть очень много. Главное — получить такие базовые геометрические величины, на основании которых мы можем вывести любые другие, какие лишь захотим.
Риман предусмотрел способы для определения длин кривых. Не просто каких-то конкретных — любых, какие нам придет в голову нарисовать. А зная длину любой возможной кривой, можно узнать все, что таит в себе геометрия.
Определить длину любой кривой… От постановки такой задачи немудрено опустить руки. Даже простые многообразия вроде сферы и плоскости позволяют построить огромное число разных кривых. К счастью, у нас есть ключ от этого зоопарка: высшая математика. Нам нет нужды выводить формулу для каждой отдельной кривой. Вместо этого мы найдем выражение для длины бесконечно малого ее участка, а затем возьмем от него интеграл.
Чтобы немного облегчить работу воображению, представим себе плоскую двумерную поверхность с декартовыми координатами (x, y). Кто-то нарисовал на ней кривую (как повела рука), нам же необходимо измерить ее бесконечно малый участок ds, выразив его длину через бесконечно малые приращения координат dx и dy. Формулу для такого расчета мы уже знаем: это теорема Пифагора. (Если эти обозначения напомнят вам формулу (6.10), при помощи которой мы находили длину сегмента пространственноподобной траектории в пространстве-времени, не беспокойтесь: буквы просто кочуют из формулы в формулу.)
ds2 = dx2 + dy2. (7.1)
Пока что все просто. Но у декартовых координат есть одна особенность: при постоянном x линии всегда идеально прямые и параллельны друг другу. При постоянном y все то же самое. Если аксиома параллельности не выполняется (то есть многообразие не является евклидовым), определить координаты получится не во всех точках. К примеру, на сфере декартовых координат вообще быть не может.
Но даже на плоском многообразии мы не обязаны использовать декартову систему координат. Возьмем вместо нее полярную систему, в которой положение точки на плоскости определяется расстоянием r до центра системы и углом ? относительно горизонтальной оси. Вычислим длину бесконечно малого сегмента кривой в этих координатах.
Физическая длина, соответствующая изменению угла d?, не постоянна, но возрастает с увеличением r. При постоянном r она, очевидно, будет равна rd?. Поэтому формула для произвольного бесконечно малого сегмента будет иметь вид:
ds2 = dr 2 + r 2d?2. (7.2)
Это почти теорема Пифагора, но с множителем r2 перед d?2, который как раз и выражает мысль о том, что приращение d? возрастает с увеличением длины r.
Линейный элемент
Вдохновляясь этим примером, попробуем понять, что такое линейный элемент — универсальная формула, которая позволяет определить длину произвольного бесконечно малого сегмента ds, выраженного через бесконечно малые приращения координат. Для простоты начнем с двумерного многообразия.
Допустим, что у нас есть две координаты (x1, x2). В данном случае надстрочные цифры — индексы, а не степени (так же, как при разговоре о компонентах вектора). Нам нужно связать расстояние ds с приращениями координат dxi. Не забывая теорему Пифагора, мы можем ожидать, что квадрат расстояния ds2 будет связан с квадратами приращений координат, к примеру (dx1)2. (Это квадрат dx1, так что теперь надстрочные цифры — и индексы, и степени. Не путайте!) Чтобы получить формулу в как можно более общем виде, нам нужно учесть наличие «перекрестных членов», произведений координат (dx1dx2). Кроме того, у нас могут быть множители, которые сами по себе зависят от координат, как, например, в полярной системе.
В самом общем виде формула двумерного линейного элемента имеет вид:
(7.3)
Тут очень много скобок и надстрочных символов. Вдохнем поглубже и попытаемся в них разобраться. Три величины, A, B и C, — это числа, значения которых зависят от конкретной точки многообразия. Поэтому мы записали их в виде функций от координат (x1, x2). Каждое из них умножается на произведение приращений координат dx1 и dx2 в трех возможных сочетаниях: (dx1)2, (dx2)2 и dx1dx2. Последнее произведение важно, когда оси координат не перпендикулярны друг к другу.
Формула (7.3) имеет огромное значение, ведь если три функции, A(x1, x2), B(x1, x2) и C(x1, x2), известны, то с ее помощью можно найти длину любой произвольной кривой. Риман утверждает, что этих данных достаточно, чтобы полностью определить геометрию многообразия. Эти функции хранят в себе сведения обо всем: углах, площадях, кривизне, обо всем, что мы захотим узнать. Этот принцип будет работать при любом количестве измерений, но с той лишь разницей, что станет больше и функций. В d– мерном пространстве для полного определения линейного элемента потребуется d(d + 1)/2 функций.
Извлечь геометрические данные из этих функций не очень-то просто. Проблема в том, что в разных системах координат линейный элемент может иметь разное выражение, хотя геометрия от этого никак не зависит. Мы уже видели это на примере плоской поверхности. В декартовых координатах линейный элемент (7.1) принимает вид (7.3) при следующих функциях:
A(x, y) = 1, B(x, y) = 0, C(x, y) = 1. (7.4)