Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной

Кэрролл Шон

(7.13)

Это выражение похоже на формулу (7.12) — трехмерную метрику Евклида в сферических координатах — только с виду. На самом деле они не родственники. Здесь R — не координата, а неизменный параметр, который определяет размеры сферы. Но самое главное, эта метрика не является плоской. По внешнему виду отличить плоскую метрику от искривленной непросто. Выбранная система координат может скрыть от нас важную геометрию.

Вернемся к метрике двумерной гиперболической плоскости, которую изучали Лобачевский и Бойяи (хотя они применяли термин «плоскость» не чаще, чем Евклид). Как и всегда, сначала определимся с системой координат. Самая удобная из них получила название диска

Пуанкаре. (Впервые ее использовал Эудженио Бельтрами, а лишь затем Анри Пуанкаре. Но он был знаменит, а знаменитости любят давать понятиям свои имена.)

В этой системе координаты обозначаются как (x1, x2) = (x, y), совсем как в плоской декартовой. Однако при этом вводится дополнительное ограничение: r < 1, где r — радиальная координата, расстояние от точки до начала координат. В такой системе двумерное гиперболическое пространство имеет метрику:

(7.14)

Здесь важно отметить несколько моментов. Во второй части выражения мы заменили фактические координаты — x и y — на

. Имеем право так сделать. Главное — помнить о том, что r — это функция, которая зависит от координат. Также нам нужно иметь в виду, что гиперболическая плоскость не имеет границ: это седло, которое во всех направлениях простирается далеко в бесконечность. А вот координаты на ней имеют значения только в пределах r. И это вполне допустимо. Вспомните, как в главе 2 мы говорили о том, что можно преобразовать бесконечную длину в конечный интервал и наоборот. Именно так происходит и здесь: диск Пуанкаре бесконечен, но выбранная нами система координат охватывает только вполне конечную его часть.

Чтобы понять, что пространство бесконечно велико, достаточно посмотреть на метрику (7.14). Подумайте, что происходит при приближении к кромке диска, когда r– > 1? Оба ненулевых элемента метрики содержат коэффициент 1/(1 — r2)2. Чем ближе r к 1, тем 1 — r2 ближе к 0, а 1/(1 — r2)2 — к бесконечности. Физически это означает, что любое приращение координат dx и dy у кромки диска будет соответствовать очень большим расстояниям. Несмотря на конечность координат, физические размеры многообразия бесконечно велики. В этом и состоит магия метрики.

На этом рисунке гиперболическое пространство с диском Пуанкаре в качестве системы координат представлено в виде треугольников. Кажется, что чем ближе к кромке диска, тем меньше треугольники, но это оптическая иллюзия, которая возникает из-за особенностей системы координат. В метрике (7.14) все они имеют одинаковые размеры и форму. Однако чем ближе к кромке, тем больше треугольников. Вдохновившись этим рисунком, знаменитый голландский художник М.К. Эшер создал серию гравюр под названием «Предел круга».

Тензоры

Метрика многообразия говорит нам о том, как вычислять расстояния. Однажды мы уже называли метрику «тензором», но не сказали, что это такое. Давайте разбираться.

Понять, что такое функция на многообразии, довольно просто: это отображение его точек на множество вещественных чисел. То есть мы присваиваем каждой точке какое-то число (значение функции), что позволяет, к примеру, определить плотность вещества в заданной точке. Мы давно уже знаем о векторах, которые имеют длину и направление. Благодаря этому мы можем с их помощью выразить, скажем, скорость частицы на указанной траектории.

Но

иногда перед нами стоят более сложные вопросы, ответы на которые требуют нескольких векторов или же направлений в пространстве. К примеру, мы можем задаться целью оценить наложение векторов

и

друг на друга или же посмотреть, как в искривленном пространстве изменятся изначально параллельные траектории. Для этого нам пригодятся тензоры — геометрические величины, которые содержат все необходимые данные. Функции и векторы — разновидности тензоров. Однако для изучения искривленных пространств нам нужны их более сложные варианты.

Представить себе тензор можно двумя способами. Мы уже знаем один из них: это массив элементов, пронумерованных при помощи индексов. В этом плане все рассмотренные нами матрицы можно назвать тензорами. Там есть интересные правила, которые говорят, как должны изменяться элементы при изменении координат, но нас они не касаются.

Каждый элемент квадратной матрицы имеет два индекса (номер строки и номер столбца). Тензоры не обязаны быть квадратными: индексов может быть сколько угодно, но их значения связаны с размерностью конкретного многообразия [22] .

22

Метрики и другие тензоры, о которых мы будем говорить, имеют определенные значения в разных точках пространства (или пространства-времени, когда мы до него дойдем). Поэтому фактически мы имеем дело с тензорными полями. Скалярное поле — это функция, которая принимает численное значение в каждой точке. Аналогичным образом можно говорить о векторных и других тензорных полях.

Вектор — это тензор с одним индексом. Мы рисуем векторы в виде куда-то направленных стрелок какой-то длины. Но выбрав систему координат, например (x, y, z), мы можем выразить вектор как сумму компонентов, направленных вдоль осей этой системы:

(7.15)

В отличие от вектора матрица — тензор с двумя индексами, а функция — тензор без индексов (с нулевым их количеством). Индексов может быть больше двух. Записать такой тензор в виде массива элементов непросто, но можно. Было бы желание. Например, можно представить трехиндексный тензор как вектор двухиндексных тензоров:

(7.16)

Не знаю, зачем это может понадобиться, но это вполне допустимо. И все же, когда число индексов больше двух, проще думать об отдельных элементах, а не о том, как выглядит какой-то гигантский массив.

Второй способ определить тензор — представить его в виде отображения одного набора тензоров на другой тензор. Замкнутый круг? Что делать, все взаимосвязано. Например, если у нас есть два вектора, ?i и wj, мы можем подставить их в матрицу и вывести численное значение. Метрический тензор работает как черный ящик: на вход поступают два вектора, а на выходе получается число.

Чтобы получить это число, необходимо подставить соответствующие элементы векторов в матрицу, а затем последовательно сложить полученные значения, перебирая значения верхних и нижних индексов:

(7.17)

Это выражение широко известно, по крайней мере среди людей, кто часто сталкивается с векторами. Мы говорим о скалярном, или внутреннем, произведении двух векторов:

(7.18)