Пространство, время и движение. Величайшие идеи Вселенной
Шрифт:
Если же взять полярную систему координат и формулу (7.2), понадобятся другие функции:
A(r, ?) = 1, B(r, ?) = 0, C(r, ?) = r 2. (7.5)
Одна и та же геометрия, но разные варианты линейного элемента для разных систем координат. Но геометрии нет дела до них, плодов человеческой изобретательности, не имеющих никакого отношения к внутренним свойствам многообразия. Чтобы выдавить из линейных элементов сведения о кривизне, придется нажать на них посильнее.
Метрика
Для
Ввести такое обозначение несложно: воспользуемся схемой, которую дает выражение (7.3). Мы будем рассматривать пары приращений dxi и dxj, где i и j — индексы, значения которых определяются количеством измерений. Индексы могут иметь как разные, так и одинаковые значения. Для каждой пары определим функцию пространства-времени gij(x), причем в данном случае буква x обозначает все координаты сразу. Буквы i и j сами по себе не несут никакого конкретного смысла, мы можем использовать любые. Таким образом, на (dx1)2 мы будем умножать функцию g11, на dx1dx2 — функцию g12 и т. д.
Все эти функции можно записать в виде матрицы [21] . Например, для трехмерного пространства:
(7.6)
Мы получили знаменитый метрический тензор, объект, который окажется в центре внимания при разговоре об общей теории относительности. Каждое значение в матрице (элемент метрики) является функцией координат. Знание всех элементов метрики позволяет получить все данные о геометрии рассматриваемого многообразия. Обычно, когда перед физиком стоит какая-то исследовательская задача из общей теории относительности, он пытается либо найти метрику с нуля (например, если энергия и материя распределены каким-то определенным образом), либо вывести ее из уже существующих метрик. (Несмотря на то что в теории относительности метрики описывают пространство-время, а не обычное пространство, это на удивление мало влияет на математические формулы. Мы просто используем греческие буквы для обозначения элементов.)
21
Матрицей математики называют массив величин. В этой книге мы не будем гадать, живем ли мы в компьютерной симуляции.
Метрика — точный эквивалент линейного элемента. Связь между ними очень проста:
(7.7)
Таким образом, зная все элементы метрики, мы можем вычислить длину любой кривой. А значит, хоть это может быть не слишком очевидно, мы также можем находить углы между линиями, площади, объемы и многое другое.
Наш двумерный линейный элемент (7.3), как и следовало ожидать, вписывается в эту схему. Мы можем записать, что:
(7.8)
Как можно заметить, значение B появляется в этой метрике дважды, но оба раза делится пополам. Это связано с тем, что при буквальном применении формула (7.7) дает отдельные множители для математически равных произведений dx1dx2 и dx2dx1. Поэтому мы должны потребовать, чтобы метрика была симметричной,
Пора спуститься с небес на землю и рассмотреть несколько примеров. Начнем с хорошо известных нам берегов: трехмерного евклидова пространства с декартовой системой координат (x, y, z). Мы знаем линейный элемент этого пространства — теорему Пифагора:
ds2 = dx2 + dy2 + dz2. (7.9)
Нет ничего проще, чем записать метрический тензор в матричной форме:
(7.10)
(Вы уже знаете, что левый верхний элемент матрицы — это g11, элемент справа от него — g12 и т. д. Поэтому в дальнейшем мы больше не будем писать индексы в явном виде.) Это метрика Евклида. Можно расширить ее на любое количество измерений, добавив новые столбцы и строки, в которых на диагонали будет стоять 1, а в остальных позициях — 0. Сам Евклид неявно использовал эту метрику, хотя и не знал такого термина. Метрика определяет геометрию.
Метрики можно записать и для других систем координат. Например, для полярной системы (r, ?), исходя из выражения (7.2), получим:
(7.11)
Нужно четко понимать, что элементы метрики всегда жестко связаны с какой-то системой координат. Так, выражение (7.11) имеет смысл только в полярной системе (r, ?), то есть когда x1 = r, а x2 = ?.
Существует трехмерная версия полярной системы координат — сферическая система (r, ?, ?). Мы говорили о ней в главе 4. Метрика плоского пространства в этой системе имеет вид:
(7.12)
Поскольку угол ? изменяется в пределах от 0° на северном полюсе до 90° на экваторе, а затем до 180° на южном полюсе, sin ? изменяется от 0 до 1, а затем снова до 0. Появление этой функции в элементе g33 в нижнем правом углу матрицы (7.12) показывает, что физическое расстояние, соответствующее одинаковому приращению координаты x3 = ?, у полюсов будет меньше, чем на экваторе.
Не будет лишним напомнить, что выражения (7.10) и (7.12) соответствуют одной и той же геометрии. Оба описывают «метрику Евклида», но в разных системах координат: декартовой и сферической соответственно.
Метрика в искривленном пространстве
Рассмотрим несложное многообразие с некоторой кривизной, например двумерную сферу. К счастью, метрику для нее достаточно легко получить на основе выражения (7.12) для плоского пространства и сферической системы координат. Сфера — это подмножество плоского пространства, которое можно получить, приняв координату r постоянной и равной некоторому числу R. Это приведет к тому, что верхняя строка и левый столбец утратят физический смысл, так как описывают изменения координаты r, невозможные на сфере. Поэтому, удалив лишнее из выражения (7.12), получим метрику для сферы и системы координат (x1, x2) = (?, ?):