Пятьсот двадцать головоломок

Дьюдени Генри Эрнест

Треугольниками, у которых стороны выражаются тремя последовательными целыми числами, а площадь — целым числом, являются следующие:

Их можно найти очень просто:

или в общем виде U _n = 4 U _{n– 1}– U _{n– 2}.

Существует и другой способ построения треугольников. Найдите xтакое, чтобы 3( x ²– 1) было точным квадратом. Ему будет соответствовать треугольник со сторонами 2 x, 2 x+ 1, 2 x– 1.

228. Так как корова и коза в день съедают

, корова и гусь

и коза с гусем

всей травы в день, мы легко находим, что корова съедает

, коза

и гусь

всей травы в день. Следовательно, все вместе они съедают в день

(или

) всей травы, так что, поскольку прироста травы не будет, всю траву они съедят за 40 дней.

229. Всего в альбоме было 2519 марок.

230. Существуют два решения, не превосходящие десяти: 3 и 5, 7 и 8.

Общее решение получается следующим образом. Обозначив числа через aи b, получим

Следовательно,

откуда

где mможет быть любым целым числом, большим 1, и aвыбирается так, чтобы число bбыло целым. В общем виде

231. Четырежды 2 плюс 20 равно 28. Четыре дрозда (

часть) были подстрелены; вот они-то и остались, потому что остальные дрозды улетели.

232.

233. В XX веке существует 215 дат с указанным свойством, если включать случаи вроде

– 00. Наиболее «плодовитым» в этом отношении оказался 1924 г., в котором было 7 таких дат: 24/1 - 24, 12/2 - 24, 2/12 - 24, 8/3 - 24, 3/8 - 24, 6/4 - 24, 4/6 - 24. Чтобы решить задачу, нужно лишь отыскать года, содержащие как можно большее число делителей.

234. Чтобы умножить 993 на 879, нужно действовать так. Вычесть 7 из 879 и прибавить к 993. При этом получаются два числа, 872 и 1000, произведение которых равно 872 000. 993 - 872 = 121. Если 121 умножить

на 7, то получится 847. Сложив эти два результата, мы найдем верный ответ: 872 847 [38] .

235. Искомое число равно 987 654 321, что при умножении на 18 дает 17 777 777 778 с 1 и 8 соответственно в начале и в конце. То же справедливо и для других сомножителей, за исключением 90, когда мы получаем 88 888 888 890 с 90 на конце.

38

Выбрав a= 879, b= 993 и c= 7, мы и получим правило, по которому действует автор. — Прим. перев.

[Автор не заметил таких чисел, как 1001, 10 101 и 100 101, составленных из 0 и 1, с 1 на концах и не содержащих двух идущих подряд 1, каждое из которых также является решением задачи. — М. Г.]

236. Основная трудность заключается в том, чтобы правильно начать, и здесь можно предложить следующий метод. Из номеров по горизонтали наиболее обещающим выглядит номер 18. Тремя одинаковыми цифрами могут быть 111, 222, 333 и т. д. Номер 26 по вертикали равен квадрату номера 18 по горизонтали. Следовательно, номер 18 по горизонтали равен либо 111, либо 222, поскольку квадраты чисел 333, 444 и т. д. содержат более пяти цифр. Из номера 34 по горизонтали мы узнаем, что средняя цифра номера 26 по вертикали равна 3, отсюда число, стоящее под номером 26 по вертикали, есть квадрат числа 111, или 12 321.

Теперь мы знаем номер 18 по горизонтали, что позволяет найти номера 14 по вертикали и по горизонтали. Затем мы находим номер 7 по вертикали. Это четырехзначный куб, оканчивающийся на 61, что полностью его определяет. Далее рассмотрим номер 31 по горизонтали. Это треугольное число, то есть число, полученное суммированием 1, 2, 3, 4, 5 и т. д. Но 210 — единственное треугольное число, у которого средняя цифра 1. Отсюда мы получаем номера 31 по горизонтали, 18 по вертикали, 21 по вертикали и 23 по горизонтали. Затем мы можем найти номер 29 по горизонтали, что даст нам число, стоящее под номером 30 по вертикали. Из номера 29 по вертикали мы можем получить первые две цифры номера 15 по горизонтали и затем полностью определить номер 15 по горизонтали и номер 29 по вертикали. Остальные числа найти не сложно.

237. Во время боевых действий было убито 472 человека. Производя расчеты, читатель обнаружит, что в каждой из четырех лагерных групп было по 72 человека.

Общее решение можно получить из неопределенного уравнения

где xравно числу оставшихся в живых. Решая его обычным образом, мы получаем x= 528. Следовательно, число убитых равно 472 (1000 - 528).

238. Мячик пройдет расстояние в 218

фута.

239. Изготовлено 8 секций по 20 м, 1 секция длиной 18 м и 7 секций по 17 м. Таким образом, всего получилось 16 секций общей длиной 297 м, что и требовалось заказчику.

240.

и

241. Сторона одного участка составляет 38 м (1444 плиты), сторона другого — 26 м (676 плит).

242. Всего было 180 колонок, а длина всей линии, окружающей памятник, составляла 33 м. Если ставить колонки через 10 см, тогда не хватит 150 колонок, а если ставить их через 30 см, то будет достаточно 110 и еще 70 колонок останется.

243. Сначала мы находим возраст обезьяны (1 1/2 года) и возраст ее матери (2 1/2 года). Следовательно, обезьяна весит 2 1/2 фунта и столько же весит груз. Затем мы находим, что вес веревки составляет 1 1/4 фунта, или 20 унций, а поскольку каждый фут весит 4 унции, то длина веревки равна 5 футам.

244. Всего было 900 человек. Первоначально выехало 100 фургонов по 9 человек в каждом. После того как сломалось 10 фургонов, в оставшихся оказалось по 10 человек («по одному лишнему человеку»). Когда при отправке домой сломалось еще 15 фургонов, в каждом из 75 оставшихся фургонов ехало по 12 человек («на три человека больше, чем было во время отъезда утром»).