Российская Академия Наук

Турчин Алексей

Теорема о конце света - «Doomsday argument». Формула Готта

Другим способом непрямой оценки вероятности гибели человечества является специфическое и довольно спорное приложение теории вероятности, называемое Doomsday argument (DA), или Теорема о Конце света. Я сознательно опускаю огромный объём существующих аргументов и контраргументов в отношении этой теории и излагаю здесь только её выводы. В начале 1980-х годов DA был независимо и в разных формах открыт несколькими исследователями. Основные статьи по этому вопросу были опубликованы в ведущем естественнонаучном журнале Nature в разделе гипотез. DA опирается на так называемый постулат Коперника, который говорит, что обычный наблюдатель находится, скорее всего, в обычных условиях – то есть на обычной планете, у обычной звезды, в обычной Галактике. Он работает в отношении самых простых

вещей: он говорит, что вряд ли вы родились в полночь 1 января, или что вы вряд ли живёте на Северном полюсе. Хотя принцип Коперника кажется самоочевидным и почти тавтологичным, он может быть выражен в математической форме. А именно, он позволяет дать оценку вероятности того, что наблюдатель находится в необычных условиях. В частности, он может дать вероятностную оценку о том, сколько времени будет продолжаться некий процесс, исходя из того, сколько времени он уже продолжается (до наблюдения в случайный момент времени) – исходя из предположения, что маловероятно, что наблюдатель случайно оказался в самом начале или в самом конце процесса. Есть две основные формы этого математического предсказания – прямая, в которой вычисляется непосредственная вероятность, называемая формулой Готта, и косвенная, выдвинутая Картером и Дж. Лесли, в которой вычисляются байесовы поправки к априорной вероятности. Оба этих подхода сразу попытались применить к вычислению ожидаемой продолжительности жизни человечества. Объём дискуссий по этому вопросу составляет несколько десятков статей, и многие кажущиеся очевидными опровержения не работают. Я рекомендую читателю обратится к переведённым мною статьям Н.Бострома (одна из них приведена в приложении к этой книге), где разбирается часть аргументов, а также к упоминавшейся уже книге Дж. Лесли и статье Кейва . Основная дискуссия строится вокруг того, можно ли вообще использовать данные о прошлом времени существования объекта для предсказания его будущего времени существования, и если да, то можно ли использовать эти данные, чтобы предсказать будущее число людей и время до «конца света». При этом в обоих случаях оказывается, что получающиеся оценки будущего времени существования человечества неприятны.

Рассмотрим сначала формулу Готта. Впервые она была опубликована в Nature в 1993г. Суть лежащих в основе её рассуждений состоит в том, что если мы наблюдаем некое длящееся событие в случайный момент времени, то, скорее всего, мы попадём в середину периода его существования, и вряд ли попадём в области очень близкие к началу или к концу. Вывод формулы Готта можно посмотреть в статье Кейва. Приведём саму формулу.

Где T – возраст системы в момент её наблюдения, t – ожидаемое время её существования, а f – заданный уровень достоверности. Например, если f=0.5, то с вероятность в 50% система прекратит существовать в период от 1/3 до 3 её нынешних возрастов с настоящего момента. При f=0.95 система просуществует с вероятностью 95% от 0,0256 до 39 нынешних возрастов.

Формула Готта находит выражение в человеческой интуиции, когда, например, мы полагаем, что если некий дом простоял год, то очень вряд ли он обрушится в ближайшие несколько секунд. Этот пример показывает, что мы можем делать вероятностные высказывания об уникальных событиях, не зная ничего о реальном распределении вероятностей. Большинство попыток опровержения формулы Готта основано на том, что приводится контрпример, в котором она якобы не работает – однако в этих случаях нарушается принцип того, что предмет наблюдается в случайный момент времени. Например, если взять младенцев или очень старых собак (как делал Кейв), то формула Готта не будет предсказывать ожидаемую продолжительность их жизни, однако молодые люди или старые собаки не есть люди или собаки, взятые в случайный момент времени.) Формула Готта была проверена экспериментально, и давала правильные результаты для времени радиоактивного распада атома неизвестного типа, а также для времени существования бродвейских шоу.

В отношении будущего человеческой цивилизации формула Готта применяется не к времени, а к рангу рождения, поскольку население менялось неравномерно, и более вероятно оказаться в период с высокой плотностью населения. (Однако если применить её к времени существования вида, то ничего невероятного не получится: с вероятностью в 50% человечество просуществует от 70 тысяч до 600 тысяч лет.) Предполагается, что мы, родившись, произвели акт наблюдения нашей цивилизации в случайный момент времени. При этом мы узнали, что всего за историю человечества было только примерно 100

миллиардов людей. Это значит, что мы, скорее всего, попали в середину отрезку, и значит, что очень вряд ли (с менее 0,1% вероятности) суммарное число людей будет 100 триллионов. А это значит, что шанс того, что человечество распространится по всей галактике в течение многих тысячелетий, также мал.

Однако из этого также следует, что вряд ли что мы живём в последнем миллиарде родившихся людей, а значит, у нас есть, скорее всего, ещё несколько сотен лет до конца света, учитывая ожидаемое население Земли в 10 млрд. человек. Для XXI века вероятность гибели цивилизации, исходя из формулы Готта, применяемой у рангу рождения, составляет 15-30 %, в зависимости от числа людей, которые будут в это время жить. Как ни странно, эта оценка совпадет с предыдущей, на основе парадокса Ферми. Разумеется, этот вопрос нуждается в дальнейших исследованиях.

Рассуждение о конце света Картера-Лесли

Лесли рассуждает несколько другим образом, чем Готт, применяя байесову логику. Байесовая логика основывается на формуле Байеса, которая связывает апостериорную вероятность некой гипотезы с априорной её вероятностью и вероятностью новой порции информации, то есть свидетельства, которую мы получили в поддержку этой гипотезы. (Я рекомендую в этом месте обратиться к переведённым мною статьям Ника Бострома о Doomsday Argument, поскольку не могу изложить здесь всю проблематику в деталях.)

Лесли пишет: допустим, есть две гипотезы о том, сколько будет всего людей от неандертальцев до «конца света»:

1-ая гипотеза: всего будет 200 млрд. людей. (То есть конец света наступит в ближайшее тысячелетие, так как всего на Земле уже жило 100 млрд. людей.)

2-ая гипотеза: всего будет 200 трлн. людей (то есть люди заселят Галактику).

И допустим, что вероятность каждого из исходов равна 50% с точки зрения некого абстрактного космического наблюдателя. (При этом Лесли предполагается, что мы живём в детерминистическом мире, то есть, но эта вероятность твёрдо определена самими свойствами нашей цивилизации, хотя мы этого и не знаем.) Теперь, если применить теорему Байеса и модифицировать эту априорную вероятность с учётом того факта, что мы обнаруживаем себя так рано, то есть среди первых 100 млрд. людей, мы получим сдвиг этой априорной вероятности в тысячу раз (разница между миллиардами и триллионами). То есть вероятность того, что мы попали в ту цивилизацию, которой суждено умереть относительно рано, стала 99,95%.

Проиллюстрируем это примером из жизни. Допустим, в соседней комнате сидит человек, который с равной вероятностью читает или книгу, или статью. В книге – 1000 страниц, а в статье 10 страниц. В случайный момент времени я спрашиваю этого человека, какой номер страницы, которую он читает. Если номер страницы больше, чем 10, я однозначно могу заключить, что он читает книгу, а если номер страницы меньше 10, то здесь мы имеем тот случай, когда можно применять теорему Байеса. Номер страницы меньше 10 может получиться в двух случаях:

А) человек читает книгу, но находится в её начале, вероятность этого – 1% из всех случаев, когда он читает книгу.

Б) Человек читает статью, и здесь эта вероятность равна единице из всех случаев, когда он читает статью.

Иначе говоря, из 101 случая, когда номер страницы может оказаться меньше 10, в 100 случаях это будет потому, что человек читает статью. А значит, что вероятность того, что он читает статью, после получения нами дополнительной информации о номере страницы стала 99%.

Свойство приведённых рассуждений состоит в том, что они резко увеличивают даже очень небольшую вероятность вымирания в XXI веке. Например, если она равна 1% с точки зрения некого внешнего наблюдателя, то для нас, раз мы обнаружили себя в мире до этого события, она может составлять 99.9 процентов. (В предположении, что в галактической цивилизации будет 200 триллионов человек.)

Из этого следует, что, несмотря на абстрактность и сложность для понимания данных рассуждений, мы должны уделять не меньшее внимание попыткам доказать или опровергнуть рассуждение Картера-Лесли, чем мы тратим на предотвращение ядерной войны. Многие учёные стараются доказать или опровергнуть аргумент Картера-Лесли, и литература на эту тему обширна. И хотя он мне кажется достаточно убедительным, я не претендую на то, что доказал этот аргумент окончательно. Я рекомендую всем, кому кажется очевидной ложность приведённых выше рассуждений, обратиться к литературе по этой теме, где подробно рассмотрены различные аргументы и контраргументы.