Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
B правой части стоит многочлен
6x4 + (а– 6)x^3 + (b– а + 6q)x^2 + (-b + qа)x + qb.
Так как многочлены равны тождественно, получаем систему
Из
q^2 + 3q + 2 = 0,
откуда
q1 = -1, q2 = -2.
Сложив второе и третье уравнения, также исключим b:
5q– 2 = p.
Следовательно,
р1 = -7, p2 = -12.
Итак, возможны два решения.
Ответ.
Глава 9
Алгебраические уравнения и системы
Ответы к упражнениям на с. 42, 43 и 52.
1. Абсолютное тождество, так как верно при всех без исключения значениях x.
2. Абсолютное тождество. Верно при x /= /2 + k. Если же x = /2 + k, то обе части теряют смысл.
3. Неабсолютное тождество. Область определения левой части: x /= /2 + k, область определения правой части: x /= k/2.
4—6. Тождество 4 является абсолютным, поскольку это определение секанса. Тождества 5 и 6 неабсолютные, так как правые части определены всегда, в то время как левые могут терять смысл.
7—8. Тождество 7 абсолютное. B самом деле, левая часть теряет смысл при cos x/2 = 0. Правая часть может быть записана в виде
Тождество 8 неабсолютное. Левая часть теряет смысл при cos x/2 = 0, а правая, которая может быть записана в виде
9—10. Левую часть равенства 9 можно преобразовать так:
ctg 2x = cos 2x/sin 2x = cos 2x/2sin x cos x,
а
Обе части этого равенства перестают существовать одновременно, если либо cos x = 0, либо sin x = 0, следовательно, тождество 9 абсолютное.
Тождество 10 является неабсолютным, поскольку при x = /2(2n + 1) левая часть равна нулю, а правая теряет смысл.
11—13. Первое из этих трех тождеств неабсолютное, второе и третье — абсолютные.
14—16. Первое и второе тождества неабсолютные, третье — абсолютное.
B самом деле, для первого область определения левой части: x > 0, y > 0; x < 0, y < 0, а область определения правой части: x /= 0; y /= 0. Для второго область определения левой части x /= 0, а область определения правой части x > 0.
Наконец, для третьего x /= 0 для обеих частей тождества.
17. Пусть x = а — корень данного уравнения. Тогда f(а) = (а). Поскольку (x) существует при всех x, то (а) — число; следовательно,
f(a) + (а) = (а) + (а). (1)
Таким образом, x = а — корень уравнения
f(x) + (x) = (x) + (x). (2)
Обратно: если x = а — корень (2), то имеет место равенство (1), а потому x = а — корень уравнения f(x) = (x).
Вторую часть теоремы доказывает пример. B самом деле, достаточно рассмотреть два уравнения:
x– 1 = 0 и x– 1 + 1/x– 1 = 1/x– 1,
первое из которых имеет единственный корень x = 1, а второе вовсе не имеет корней, так как при x = 1 оно теряет смысл.
18. Доказательство аналогично 17. Даже пример можно взять тот же самый.