Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы
Шрифт:
Ответ. (10, 0), (-10, 0); (-1, -3), (-17, -3); (1, 3), (17, 3); (-6, -4), (-18, -4); (6, 4), (18, 4); (-15, -5), (15, 5).
8.5. По определению деления имеем тождество
x99 + x^3 + 10х + 5 = Q(x) (x^2 + 1) + ax + b,
которое справедливо всюду в области комплексных чисел. Так как частное Q(x) нам неизвестно и оно нас не интересует, то в качестве значения x нужно
i99 + i^3 + 10i + 5 = аi + b, т. е. 8i + 5 = аi + b,
откуда а = 8, b = 5.
Ответ. 8х + 5.
8.6. Перепишем уравнение в виде
y^2 2x^2 + 1/x^2 + 2 = 6.
Если x^2 >= 1, то 2x^2 + 1/x^2 + 2 >= 1.
Так как x = 0 не является целочисленным решением уравнения, то можно утверждать, что y^2 <= 6. Остается рассмотреть случаи: y^2 = 0, y^2 = 1, y^2 = 4. Первый и второй не приводят к действительным значениям x. Для y^2 = 4 находим x^2 = 4.
Ответ. (2, 2), (2, -2); (-2, 2), (-2, -2).
8.7. Подставим в данное уравнение x = 3 + 1. После простых вычислений и преобразований получим
36 + 10а + 4b + (22 + 6а + 2b)3 = 0.
Сумма двух чисел, из которых одно рациональное, а другое иррациональное, может равняться нулю, только если оба числа равны нулю:
(1).
Решая эту систему, найдем а = -4, b = 1. Поскольку уравнение
x4– 4x^3 + x^2 + 6x + 2 = 0
одним из своих корней имеет число 3 + 1, а все коэффициенты уравнения — целые, то следует ожидать, что наряду с этим корнем должен существовать и корень 3 - 1. Подставим это значение x в уравнение и соберем отдельно рациональные и иррациональные члены. Получим
36 + 10а + 4b– (22 + 6а + 2b)3 = 0,
что приводит к той же системе уравнений (1) и имеет место при а = -4, b = 1. Следовательно, x = 1 - 3 —
Разделив многочлен x4– 4x^3 + x^2 + 6x + 2 на
(x– 3 - 1)(x + 3 - 1) = x^2 - 2x– 2,
получим квадратный трехчлен x^2 - 2x– 1, корнями которого являются числа 1 + 2.
Ответ. x1,2 = 1 ± 3; x3,4 = 1 ± 2.
8.8. Из теоремы Виета получаем неравенства:
Добавляем к ним условие неотрицательности дискриминанта:
(а + 1)^2 - 4(а + 4) >= 0.
Приходим к системе неравенств
Последнему неравенству удовлетворяют числа а, лежащие вне промежутка между корнями: а <= -3, а >= 5.
Ответ.– 4 < а <= -3.
8.9. Пусть х1, х1q и х1q^2 — корни данного уравнения. По теореме Виета имеем систему
Из этих уравнений нужно исключить x1 и q. Поскольку из первого уравнения следует х1(1 + q + q^3) = -а, то второе примет вид
b = х1^2q(1 + q + q^2) = x1q(-а),
т. е. x1q = - b/a, откуда
– b^3/a^3 = -c.
Ответ. са^3= b^3.
8.10. По теореме Виета
Возведем первое уравнение в квадрат:
1^2 + 2^2 + 3^2 + 2(12 + 13 + 23) = 0,