Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

Последовательность, в которой

а_{i + 1} = а_i + d

при всех натуральных i, называется арифметической прогрессией. Число d называется разностью арифметической прогрессии. Имеют место формулы:

2а_n = а_{n + 1} + а_{n– 1}; а_n = а₁ + d(n– 1);

где S_n —

сумма n первых членов прогрессии.

Последовательность, в которой

a_{i + 1} = qa_i

при всех натуральных i, причем q /= 0 и a_i /= 0, называется геометрической прогрессией, а число q называется ее знаменателем.

Для геометрической прогрессии имеют место формулы:

a_n = a₁q^{n–  1};

a^2_n = a_{n– 1}a_{n + 1}.

Вторая формула верна, если q /= 1. Бесконечная геометрическая прогрессия, у которой |q| < 1, называется бесконечно убывающей.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия не обязательно является убывающей последовательностью. Она может быть возрастающей, например, при a₁ = -1, q = 1/2 , а может быть колеблющейся: a₁ = 1, q = - 1/2 .

Если для бесконечной последовательности существует конечный предел последовательности ее сумм S_n, т. е. существует

, то S называется суммой всех членов этой бесконечной последовательности.

Для того чтобы бесконечная геометрическая прогрессия имела сумму всех своих членов, необходимо и достаточно, чтобы она была бесконечно убывающей. В этом случае

19.1. Общий член последовательности

 Является эта последовательность возрастающей или убывающей?

19.2. Докажите, что если члены a_p, a_q, a_r, a_s арифметической прогрессии образуют геометрическую прогрессию, то последовательность p– q, q– r, r–

 s является геометрической прогрессией.

19.3. Докажите, что если положительные числа a, b, с — соответственно m– й, n– й и p– й члены как арифметической, так и геометрической прогрессии, то

a^{b– с}b^{с– a}с^{a– b} = 1.

19.4. Докажите, что если а, b, с образуют геометрическую прогрессию, то

где x > 0, x /= 1, а, b, с — различные положительные числа, отличные от единицы.

19.5. Найдите сумму

S = 7 + 77 + 777 + ... + 777...7,

где последнее слагаемое содержит n цифр.

19.6. Докажите, что

 где цифра 1 повторяется 2n раз, и цифры 2 и 3 только n раз.

19.7. При каких значениях x и у последовательность а₁, а₂, а₃, где

является одновременно арифметической и геометрической прогрессией?

19.8. Пусть х₁ и х₂ — корни уравнения x^2 - 3х + А = 0, а х₃ и х₄ — корни уравнения x^2 - 12х + В = 0. Известно, что последовательность х₁, х₂, х₃, x₄ является возрастающей геометрической прогрессией. Найдите А и В.

19.9. Решите уравнение

х^3 - 7х^2 + 14х + а = 0,

зная, что его корни образуют возрастающую геометрическую прогрессию.

19.10. В бесконечно убывающей геометрической прогрессии сумма всех членов вдвое больше суммы первых n членов. Найдите произведение первых n членов, если первый член равен 2.

19.11. Найдите трехзначное число, цифры которого образуют арифметическую прогрессию и которое делится на 45.