Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

Ваховский Евгений Борисович

13.40. Решите уравнение

sin^2 x + 1/4 sin^2 3x = sin x sin^2 3x.

13.41. Решите уравнение

cos x + cos у– cos (x + у) = ³/₂.

13.42. Найдите все пары чисел а и b, при которых для любых x и у, удовлетворяющих условию x + у = а (где x /= /₂ + n, у /= /₂ + n, n, m = 0,

±1, ±2, ...), верно равенство tg x + tg у + tg x tg у = b.

13.43. Найдите все пары чисел x и у, которые удовлетворяют уравнению

13.44. Решите уравнение

sin x + 2 sin 2x = 3 + sin 3x.

13.45. Решите уравнение

sin x (cos ^x/₄– 2 sin x) + cos x (1 + sin ^x/₄– 2 cos x) = 0

13.46. Решите уравнение

13.47. Найдите все значения x, удовлетворяющие одновременно следующим уравнениям:

cos 6х + cos 8х = 0, cos Зх = 2 sin^2 2х

при условии, что |x| < 5.

13.48. Решите уравнение

13.49. Решите уравнение

13.50. Решите уравнение

2 tg x + tg ^x/₂ + 4 ctg 2х = ctg Зх.

13.51. Решите уравнение

Глава 14

Тригонометрические неравенства

Решите неравенства:

14.1. |sin x| > |cos x|.

14.2. 1 - sin x + cos x < 0.

14.3. sin x– З cos x < 0.

14.4. 2 cos 2х + sin 2х > tg x.

14.5. cos x tg 2х <= 0.

14.6. 6 + cos 2х + 13 cos x >= |5 - 2 cos 2х– 6 sin^2 x–

З cos x|.

14.7. Найдите решения неравенства

sin 2х > 2 sin^2 x + (2 - 2) cos^2 x,

лежащие в интервале (0, 2).

14.8. При каких значениях , 0 <= <= , уравнение

2х^2 - 2(2 cos - 1)x + 2 cos^2 - 5 cos + 2 = 0 имеет различные действительные корни? Исследуйте знаки корней.

Решите неравенства:

14.9.

14.10.

14.11.

14.12. tg x tg 3x < -1.

14.13.

14.14. Найдите все значения x из интервала 0 < x < , удовлетворяющие неравенству

14.15. Докажите, что при любом а имеет место неравенство

4 sin 3 + 5 >= 4 cos 2 + 5 sin .

14.16. Решите неравенство

a^2 sin^2 x <= sin^2 3x, а > 0.

14.17. При каких значениях x и у выражение

(2 cos t + 1/2 cos x cos у ) cos x cos у + 1 + cos x– cos у + cos 2t

положительно при всех значениях t? Укажите, где на координатной плоскости расположены точки (x, у), удовлетворяющие этому условию.

Глава 15

Трансцендентные неравенства

Решите неравенства:

15.1. (log_{sin x} 2)^2 < log_{sin x} (4 sin^3 x).

15.2.

15.3. Найдите решения неравенства

log₂ cos x > log₂ tg x,

удовлетворяющие условию 0 <= x <= .

Решите неравенства:

15.4. 4 log₁₆ cos 2х + 2 log₄ sin x + log₂ cos x + 3 < 0.

15.5. log_{|cos x + 3 sin x|} 1/2 > 0, если 0 <= x <= 2.