Строительство и архитектура в Древнем Египте

Сомерс Кларк

3) Задача № 30 из папируса Ринд

Если писец говорит тебе:

«10 стало ²/₃ ¹/₁₀ от какого числа?

То пусть он услышит:

Ты используешь ²/₃ ¹/₁₀, чтобы определить 10 [61]

Всего, количество, которое называет это 13¹/₂₃.

(Доказательство)

<

61

Слово

«остаток» в папирусе опущено.

empty-line/>

Всего 10

Следует отметить, что процесс сложения дробей и определения, каким образом дробь ²/₃ ¹/₁₀ составляет ¹/₃₀, не приведены. Другие задачи, однако, приводят весь ход сложения дробей, который в принципе мало отличается от современного способа приведения их к общему знаменателю. В задаче № 32, приведенной в папирусе Ринд, необходимо сложить целый ряд дробей, чтобы доказать, что их сумма равна ¹/₄. Процесс решения заключается в следующем [62] :

62

На папирусе нижний ряд написан красными чернилами.

Всего: 228 (т. е.) ¹/₄

Профессор Пит объясняет ход решения тем, что «все дроби или делители, по-видимому, были приведены к самому большому делителю, а именно к 912: под каждой дробью красным написано число, показывающее, сколько раз число 912 входит в него. Как мы видим, это число не всегда является целым. Этот этап, должно быть, требовал подсчетов, которые в задачах на папирусе всегда опускаются. Красные числа суммируются и дают 228, которое представляет собой ¹/₄ от 912. Таким образом, сумма всех дробей действительно составляет ¹/₄…».

В задаче № 30 папируса Ринд, которую мы привели выше, процесс сложения дробей гораздо более простой и, по-видимому, выглядел так:

Сумма (для дробей) составляет 29, давая результат суммы дробей, равный единице без ¹/₃₀, а для всей задачи сумму, близкую к 10.

Второй этап решения задачи, который опускается при ее описании, заключается в определении, сколько раз ¹/₃₀ входит в ²/₃ ¹/₁₀. Это выясняется путем обычного деления, и ход решения мог быть таким:

С другой стороны, вполне возможно, что египтянин мог сразу определить, что три раза по ¹/₃₀ составляет ¹/₁₀, и его подсчеты могли быть такими:

Профессор Пит объясняет этот этап так: «Поскольку ²/₃ ¹/₁₀ равно ²³/₃₀ – а это действие полностью опущено, то ответ должен быть ¹/₂₃». Выполнение этого действия в ходе цепи рассуждений заставило, по-видимому, профессора решить, что египтянин понимал, что означает ²³/₃₀,

или представлял себе эту дробь как 23 части из тридцати. Это является логическим выводом из его метода сложения дробей путем приведения их к общему знаменателю. Если бы это было так, он смог бы выразить эту дробь только в виде ряда множителей, который мог при необходимости восполнить дробью ²/₃.

В папирусе Ринд приводится совершенно ненужное, с нашей точки зрения, число примеров умножения и деления, которое мы, с помощью алгебры, могли бы выразить несколькими пояснительными строчками или одной формулой. Причиной этого является тот факт, что задача, решаемая методом проб и ошибок, создает свои, только ей присущие трудности, причем некоторые из них требуют большой ловкости для разрешения.

Уравнения первой степени решались египтянами простым методом проб и ошибок. Знали они также и уравнения второй степени, в которых имелось одно неизвестное. В Берлинском папирусе приводится задача – разделить 100 квадратных локтей на два квадрата, стороны которых соотносились друг с другом как 1 к ³/₄.

Знали египтяне и возведение во вторую степень, и извлечение квадратных корней. Первый процесс – это простое умножение, второй же заключался для самых простых чисел в длинной серии проб. В Берлинском папирусе приводятся квадратные корни для 6 ¹/₄ и 1¹/₂ ¹/₁₆.

Хотя древнее значение соотношения длины окружности к ее диаметру, или число п, и не встречается в математических папирусах, однако в папирусе Ринд дан пример (№ 50) определения площади круга. Способ заключался в вычислении ¹/₉ диаметра и возведении полученного числа во вторую степень. Сейчас мы выразили бы это формулой A = (⁸/₉ D)². Эта формула дает значение, близкое к реальному. Египтяне получили площадь круга, равную 0,7902 D², тогда как в реальности она составляет 0,7854 D². Эта площадь, вероятно, была определена таким образом: на разделенной на квадраты поверхности был нарисован круг и подсчитано число квадратов, попавших в него.

У нас имеется много свидетельств того, что в поздние времена площадь треугольных полей для взимания налогов определялась как половина произведения самой длинной и самой короткой сторон. У нас почти нет сомнений в том, что в более ранние времена эту площадь египтяне правильно определяли как половину произведения основания треугольника и вертикальной высоты, или эмройет. Более того, они знали, что площадь равнялась половине прямоугольника, построенного на его основании с той же самой вертикальной высотой.

Объем цилиндра вычислялся путем умножения квадрата его диаметра минус его девятая часть (см. выше) на длину, а объем симметричной пирамиды (по крайней мере) равнялся ¹/₃ площади основания, умноженной на высоту. Как объем определялся первоначально, мы не знаем, поскольку для доказательства этого потребуются знания, которыми египтяне не обладали, а практическая демонстрация получения пирамиды из параллелепипеда связана с огромными трудностями. Мистер Баттискомб Ганн в разговоре со мной высказал предположение, что египтяне сначала взвешивали параллелепипед, сделанный из глины или ила, а затем – пирамиду, отрезанную от него. Это простой и удобный метод, который египтяне вполне могли использовать.

Самое удивительное заключается в том, что египтяне умели определять объем усеченной пирамиды. Если H – вертикальная высота, a – сторона квадрата основания, а b – сторона квадрата на вершине, то формула объема будет такова: H/3 (a² + ab + b²) – именно в такой форме она и была известна в Древнем Египте. Усеченную пирамиду можно было превратить в параллелепипед, четыре клина и четыре косых пирамиды, из которых можно было собрать одну симметричную пирамиду. Было показано, что с помощью простого графического процесса формула, найденная путем разделения фигуры, может быть превращена в более удобную, которую и используют в наши дни в простых графических методах.