Строительство и архитектура в Древнем Египте
Шрифт:
а) папируса, датируемого эпохой фараона Аусерра-Апопи, гиксосского правителя. Предполагают, что это копия документа времен фараона Аменемхета III. Сейчас этот источник известен под названием «Папирус Ринд»;
б) документа, известного как «Московский папирус», времен Среднего царства;
в) папирусов XII династии, известных как фрагменты из Кахуна;
г) папируса времен Среднего царства, хранящегося сейчас в Берлине;
д) двух деревянных табличек эпохи Среднего царства, хранящихся сейчас в Каирском музее (номера по каталогу 25367/8);
е) демотического папируса римского периода, содержащего таблицы дробей;
ж) нескольких таблиц дробей византийского периода;
з) коптского остракона с таблицами дробей;
и) «Математического папируса из Ахмима», датируемого VI–IX веками н. э.
К этому следует добавить длинное сатирическое письмо, называемое «Папирус Анастаси I», которое мы уже цитировали (глава 8). Это письмо, хотя и не приводит способов решения проблем, показывает, что египтяне знали, как рассчитать количество кирпичей, необходимых для сооружения наклонной насыпи с внутренними перегородками, а также определить
Из всех этих документов самым ценным является «Математический папирус Ринд», поскольку он самый полный и освещает самый разнообразный круг вопросов [56] .
Перед тем как оценить математические методы египтян, надо рассказать об особенностях их мышления. Они хорошо выражены в следующем высказывании: «Несмотря на то что греки приписывали египтянам мудрость философов, ни один народ не испытывал такого отвращения к отвлеченным размышлениям и не был так чистосердечно предан материальным интересам, как египтяне» [57] .
56
Труд профессора Т. Пита, посвященный папирусу Ринд, содержит все, что исследователь хотел бы узнать о других документах, поэтому он должен быть настольной книгой для тех, кто хочет получить фундаментальные знания о математике египтян. Почти все сведения, приведенные в этой главе, были взяты из книги профессора Пита, кроме того, мы воспользовались помощью мистера Баттискомба Ганна и замечаниями профессора Алана Гардинера.
57
Цитата из книги Гардинера «Египетская грамматика», с. 4.
Из всех наук это утверждение больше всего подходит к математике египтян. Профессор Пит пишет об особенностях математического мышления египтянина так: «Он не говорит и не думает о числе «восемь» как об абстрактном числе, он думает о восьми хлебах или восьми овцах. Он вычисляет наклон стороны пирамиды вовсе не потому, что это интересно, а потому, что ему нужно объяснить каменщику, каким образом надо будет обтесывать камень. Если он раскладывает 2/13 на 1/8 + 1/52 + 1/104, то вовсе не потому, что это ему нравится, а просто потому, что рано или поздно он встретится с дробью 2/13 при сложении, а поскольку он не знает, как складывать дроби, чей числитель больше единицы, ему потребуется приведенное выше разложение».
У египтян была десятичная система счисления. Для обозначения единицы, десяти, ста и всех кратных десяти величин, вплоть до миллиона, у них были особые знаки. Целые числа записывались с помощью знаков, повторяемых столько раз, сколько было нужно. Для того чтобы написать, к примеру, число 879, требовалось двадцать четыре иероглифа, хотя в скорописи использовались многочисленные сокращения.
Главная особенность египетской системы счисления заключается в выражении дробей, что делает ее совершенно не похожей на нашу. Дробь изображалась так: знак человеческого рта, который, по-видимому, читался как ре и означал «часть», писался над тем числом, которое мы сейчас назвали бы знаменателем. В египетском языке число, следовавшее за ре, имело порядковое значение, таким образом, ре, написанный над 5, означал «часть пяти», то есть «пятая часть», которая заключала собой ряд аналогичных частей, в сумме образующих число 5. Будучи частью, которой заканчивался ряд того или иного числа, ре в египетской дроби играл роль числителя. Для египетского способа мышления написать ре 4/7 было бы совершенной бессмыслицей, ибо в любой серии частей числа 7 только одна часть может быть одной седьмой, а именно та, которая занимала седьмое место в ряду семи равных частей. Хотя египтянин и мог понять, что означает четыре седьмых, тем не менее выражал дробь 4/7 в виде 1/2 + 1/14. Аналогичным образом, 11/49 выражалось в виде 1/7 + 1/14 + 1/98 или любым другим набором дробей, дающих в сумме то же число.
Помимо знака ре у египтян был еще один, обозначавший дробь 1/2 или, как это ни странно, знак, обозначавший 2/3, что в реальности означало «две части» (из трех), и еще один для 3/4. Значок 2/3 играл очень важную роль в египетской арифметике, а вот значок 3/4 совсем, по-видимому, не использовался, кроме как, вероятно, в метрологии.
Самыми важными расчетами для египтянина были те, в которых применялись деление и умножение, причем деление представляло большие сложности.
Для того чтобы ускорить процесс деления, египтяне составляли таблицы, в которых записывались серии ре-дробей, где число 2 делилось на все
58
Часть подобной таблицы приведена в демотическом папирусе, см. пункт (f) в приведенном выше списке папирусов.
59
В папирусе Ринд раскладывание дробей, в которых 2 делится на нечетные числа, приводится не в той форме, которая указана выше, а каждое представлено в виде небольшой отдельной теоремы, доказывающей правильность этого решения.
Раскладывание числа 2, деленного на нечетные числа от 5 до 47, таковы:
Не всегда понятно, почему египтяне предпочли именно эти значения для деления 2, хотя имеется много других. По-видимому, эти таблицы были составлены с учетом опыта многих поколений, а приведенные значения дробей – наиболее легкими для использования.
Таким образом, египетский метод умножения и деления представлял собой систему проб и ошибок, состоявших из удвоения, деления на две части и умножения на две трети. Сначала определяли две трети какого-то количества и уже на основе этого, в случае необходимости, вычисляли одну треть, одну шестую и т. д. Процесс определения двух третей от целого числа не представлял особых трудностей. Что касается дробей, то древний метод заключался в прибавлении половины к одной шестой части. Так, 2/3 от 1/5 равняется 1/10 + 1/30, аналогичным образом, 2/3 от составляло 1/22 + 1/66. Почему египтяне в первую очередь не определяли одну треть нужного количества, мы не можем объяснить. Умножение на число, превышавшее 2 (за исключением 10), производилось, вероятно, очень редко. Папирус Ринд, представляющий собой более или менее продвинутую работу, почти не приводит примеров простого умножения или деления. Повсюду видно странное стремление все усложнять, и почти везде опущены этапы, очевидные для египтян, но часто непонятные для современного ума. Ниже приводятся примеры простого умножения и деления, выполненных древним способом, которые содержатся в папирусе Ринд и помогут читателям понять, в чем заключается проблема, поскольку ряд этапов в этих операциях опущен.
(Способ сложения дробей объясняется ниже.) [60]
2) Получить 49 из 11 (разделить 49 на 11) 1 (умноженное на 11 дает) 11
Два, полученное из 11, – это 1/6 1/66 Найдено (см. таблицу дробей)
Сколько двоек укладывается в 5
Ответ 21/2
60
Сумма частей, помеченных знаком \.
Умножить 1/6 1/66 на 21/2
Всего 21/2» Ответ: 1/3 1/11 1/33
Прибавить число 4 Конечный ответ 41/3 1/33.
Мы видим, что решение заключается в следующем: 1) сначала выясняют, сколько раз 11 содержится в 49 и каков остаток, 2) а затем, зная значение 2: 11, находят, умножая его на 21/2, значение остатка, или 5, разделенное на 11.