"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"
Шрифт:
На основі змісту прикладної задачі можна іноді не тільки продемонструвати практичне значення теоретичного матеріалу, а й глибше розкрити його і накреслити в загальних рисах ідею доведення теореми, оскільки для розв’язування окремих таких задач треба застосовувати не твердження, яке доводиться, а його доведення. Зокрема, щоб підвести учнів до доведення теореми Піфагора, можна поставити перед ними таку проблему: відомо, що брус, поперечним перерізом є прямокутник, має найбільшу міцність тоді, коли перпендикуляри, опущені з вершини цього прямокутника на його діагональ, ділять її на три рівні частини.
У зв’язку з цим виникають така задача практичного характеру:
Визначити найбільші
Аналізуючи задачу, учні приходять до висновку, що невідомі розміри можна визначити, коли будуть відомі залежності між сторонами прямокутника, його діагоналями і проекціями сторін на діагональ. Далі, розглядаючи і вивчаючи теорему Піфагора, можна використати багатий історичний матеріал, цікаві задачі, які дають можливість практично 100% засвоєння цієї теореми учнями. Так, наприклад, при вивченні цієї теми можна використати урок – бенефіс на тему “Теорема Піфагора” [2].
Досвід переконує, що озброєння учнів міцними знаннями з усіх предметів, в тому числі і з математики, в сучасних умовах неможливе без використання у навчально-виховному процесі позакласної роботи. Практика показує, що для формування відповідного ставлення до навчання потрібні не випадкові позакласні заходи, а продумана система цієї роботи. Cаме при проведенні занять із позакласної роботи з математики відкривається можливість більш широкого, ніж в урочний час, використання задач практичного змісту, проведення математичних обчислень та обчислювальних експериментів практичного характеру. Тут є можливість використання завдань творчого характеру, при розв’язуванні яких учні не тільки закріплюють набуті математичні знання, але й здобувають навички практичного застосування математичних методів до розв’язування прикладних задач – задач практичного змісту.
Література:
Пойа Д. Как решать задачу: Пер. с англ. – М.: Учпедгиз, 1959. – 208 с.
Мошковська Г.К. Головна теорема геометрії // Нова педагогічна думка. – 1999. – №4. – С. 121–125.
Розв’язування задач з параметрами
з Використанням програми gran1
Т.Г. Крамаренко
м. Кривий Ріг, Жовтневий ліцей
Математика є унікальним засобом формування не тільки освітнього, а й розвиваючого та інтелектуального потенціалу особистості. Використання комп’ютера, зокрема програми GRAN1, на уроках алгебри допомагає у вирішенні дидактичних завдань та активізує дію мотиваційних чинників у створенні позитивного ставлення до навчання [1].
Розглянемо приклади застосування GRAN1 при вивченні теми “Розв’язування задач з параметрами”.
Параметр має двоїсту природу – з одного боку це фіксоване, але невідоме число, а з другого боку – змінна, оскільки розглядаємо задачу для всіх можливих значень параметра. Це і обумовлює два основні методи розв’язання – аналітичний та графічний, з побудовою графічного образу на координатній площині ( x; y) чи на площині ( x; а). Графічний метод перетворює процес розв’язування з формально-арифметичного в наочно-геометричний.
Щоб знайти при яких значеннях арівняння х 2–2 ах+а+1=0 і х 2 +ах–а–1=0 мають хоча б один спільний корінь, користуються, як правило, аналітичним методом.
Передбачимо, використовуючи GRAN1, кількість розгалужень в процесі розв’язання рівняння х 4–2 ах 2– х+а 2– а=0 та число розв’язків для кожного значення параметра а. Аналізуючи графічний образ можна встановити, що для а<–0,25 коренів нема; для –0,25< а<0,75 коренів два, для а>0,75 коренів чотири, для а=–0,25 – один, для а=0,75 – три. Самі ж корені можна знайти лише наближено. Аналітичним методом рівняння розв’язують через параметр.
Для розв’язування нерівності х 2( х 2–2 а)+4 а< х 2(4– а) традиційно використовують аналітичний метод. Спробуємо здійснити передбачення розв’язків з використанням GRAN1. Перетворюємо нерівність до виду G( x, y)>0, будуємо графічний образ рівняння G( x, y)=0 і використовуємо послугу “Розв’язати нерівність G( x, y)>0”.
По осі абсцис відкладаємо значення параметра а, по осі ординат – змінної х. Щоб переконатися, яку саме криву побудовано, додатково будуємо в цій же системі координат графік функції . Криві співпадають (рис. 1). Проводимо прямі, перпендикулярні параметричній осі, записуємо розв’язки нерівності. Якщо а<0, x(–2; 2); 0<= а<4, то х(–2; – а)U( а; 2); якщо а=4, то нема розв’язків; якщо а>4, то х(– а; –2)U(2; а).
Ще одна нерівність. При яких значеннях параметра анерівність a·4 x –4·2 x +3 a+1>=0 виконується для всіх х? Будуємо з використанням GRAN1 геометричне місце точок (рис. 2), що задовольняють нерівність. По осі ординат відкладаємо параметр а, знаходимо максимум а=1. При a>=1 нерівність виконується для всіх х.