Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Однако дуальность заведомо должно быть соблюдена при чисто абстрактном использовании магнитных зарядов, основанном на переопределении токовых источников поля по правилам : m=-div M, где M - вектор намагничения, отыскиваемый как одно из возможных решений интегрального уравнения вида
m
=
1
2c
V
j
e
пр
x
rdV
=
V
M
dV
,
что отвечает двум рецептам введения магнитного момента: для системы токов
Таким образом, в выражении (С) нет излишеств, но приведено одновременно два выражения для силы, действующей на токи или на магнитные заряды в зависимости от предпочитаемого описания фактических источников магнитного поля. Однако, строго говоря, при зарядовом описании в уравнение (С) должен быть введён ещё один член, связанный с появлением магнитных токов. Действительно, по смыслу введения магнитных зарядов в уравнения поля как источников этого поля (фиктивных или реальных) они должны удовлетворять закону сохранения, и, значит, любое изменение во времени плотности m сопровождается подтеканием или оттеканием магнитного тока (фиктивного или реального) с плотностью jm:
div
j
m
=-
m
t
.
(10)
Уравнение непрерывности (10) двойственно (je– >jm, e– >m) уравнению непрерывности (7). И потому последовательный учёт принципа двойственности в задаче о механическом действии электромагнитного поля на источники (строго говоря, конечно, на «носители источников») должен в общем случае дополнить (С) членом
1
c
j
m
x
D
.
И, наконец, последнее замечание, также относящееся к выражению (С). В той части силы, которая определяет воздействие поля на токи (строго говоря, конечно, на носители токов), Максвелл оперирует не с током проводимости, а с истинным током, дополнительно содержащим ещё и ток смещения. Это отличает соотношение (С) от используемого нами теперь. Разница обусловлена несколько иным определением понятия силы (во-первых) и отсутствием ещё одного члена, двойственного члену с электрическим током смещения (во-вторых). Поскольку вопрос представляет не только исторический интерес, остановимся на нём подробнее. Без ущемления сути дела в целях сокращения формул положим сразу =1, =1, т.е. будем рассматривать силы, действующие на заряды и токи в вакууме.
Закон сохранения импульса в этом случае принимает вид
div T
–
g
t
=
f
мех
,
(11)
где
f
мех
=
e
E
+
1
c
j
e
пр
x
H
,
g
=
1
4c
E
x
H
,
T
– >
T
=
1
4
(E
E
+H
H
)
–
1
8
(E^2+H^2)
.
Здесь g - плотность электромагнитного
div T
=
f
=
f
мех
+
g
t
=
=
e
E
1
c
j
e
пр
x
H
+
1
c
j
e
см
x
H
+
1
4c
E
x
H
t
.
(12)
Сравнивая выражение для f в (12) с максвелловской формулой (С) (где для однозначности подхода нужно сразу же положить m), нетрудно обнаружить, что они отличаются только наличием дополнительного члена в (12)
1
4c
E
x
H
t
=-
1
c
j
m
см
x
E
,
(13)
которому может быть придан вид, сходный с лоренцовым, если ввести условно «магнитный ток смещения»:
j
m
см
=
1
4
H
t
.
Следовательно, формулы (11) или (12) допускают такую дуально симметричную запись:
div T
=
f
=
e
E
+
m
H
+
1
c
j
m
пол
x
H
–
1
c
j
e
пол
x
E
.
Причина отсутствия у Максвелла добавочного члена (13) отчасти раскрывается в п. 641-643, где он выводит выражение для механической силы, дифференцируя тензор напряжений (его магнитную часть), и проводит соответствующие обобщения на переменные во времени процессы. Воспроизведём это вычисление в наших обозначениях. Если в магнитостатике задан тензор
T
m
=
1
4
H
H
–
1
4
H^2
,
то его дивергенция равна
T
m
x
=
1
4
x
H
H
–
1
8
x
H^2
=