Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.
Шрифт:
Следующий шаг должен был состоять в развитии аппарата векторной алгебры и анализа. Аппарат в том виде, в котором мы владеем им сейчас, как известно, был отработан чуть позже, но можно сказать, что это произошло в основном по заказу теории электромагнитного поля 7. Не следует, однако, принижать и прямой максвелловский вклад: Максвеллу принадлежит понимание адекватности векторного анализа, не говоря уже об инициативе его использования. Бытует мнение, что будто бы он предпочитал работать только с декартовыми компонентами векторов. Действительно, при решении многих конкретных задач (да ещё при извлечении преимуществ от разделения переменных) он широко пользовался записью уравнений через проекции (не обязательно декартовы, разумеется). Но он не пропускал почти ни одной возможности - по
7 Описание послетрактатиой истории максвелловской электродинамики в той её части, которая свизаиа с именем Хевисайда, приведено в книге Б. М. Болотовского [9], к которой мы отсылаем читателя.
Напомним, что кватернионом называется объект, состоящий из четырёх компонент: одного действительного скаляра и трёх мнимых составляющих вектора, причём каждой декартовой координате приписывается своя мнимая единица. Таким образом, вместо одной обычной мнимой единицы i, характеризуемой свойством i^2=-1, вводится три i, j, k (i^2=j^2=k^2=-1), их различие между собой определяется попарной некоммутируемостью, а именно ij=k=-ji, jk=i=-kj, ik=-j=-ki [11].
Сейчас мы понимаем, что привлечение кватернионов удобно упрощает вычисления, связанный с некоммутирующими величинами, например, при трёхмерных вращениях, теория которых была заложена ещё Эйлером. Но в максвелловские времена люди не обращали внимания на такие тонкости, и кватернионика Гамильтона считалась нечто вроде символа обособления гордой ирландской самобытности. А Максвелл принял её в качестве рабочего инструмента и приспособил обслуживать фарадеевские поля, ибо кватернионика позволяла установить правила не только сложения, но и умножения векторов, а следовательно, открывала путь к построению векторного дифференциального исчисления. Действительно, если рассматривать векторное поле A (A, =1, 2, 3 - индексы соответствуют номерам координатных осей) как векторную часть кватерниона A (следуя Максвеллу, снабжаем кватернионы готическими обозначениями), то произведение двух чисто векторных кватернионов (их иногда называют ассоциированными) A·B, выполненное с учётом правил коммутации i, j, k, будет содержать векторную часть (Максвелл обозначает её V·AB) и скалярную часть (S·AB), и ничего более. Судя по воспоминаниям [10], Гамильтон очень гордился этим результатом и имел к тому основания.
В современном представлении через действительные проекции произведение векторов A и B в общемм случае выглядит как симметричный диадный тензор AB. По известной теореме приведения он может быть разложен на три «элементарных» (неприводимых) группы: группу скаляров AB (по дважды встречающимся индексам производится суммирование
,
3
=1
),
группу векторов (псевдовекторов) eAB (e– единичный антисимметричный тензор) и группу симметричных тензоров с нулевым следом
A
B
+
A
B
–
1
3
A
B
;
– единичный симметричный тензор; последняя группа повышает ранг описания векторных полей и потому «не задействована» в формулировке скалярных и векторных уравнений электродинамики (во всяком случае применительно к неэкзотическим ситуациям).
Этими несколько подробными сопоставлениями векторных действительных и векторных кватернионных манипуляций мы, с одной стороны, дополняем информацию п. 2 об обозначениях «Трактата», а с другой - хотим отметить высокое качество принятой в нём терминологии, в определённом смысле более адекватной существу дела, чем наша. В самом деле, скалярная часть произведения векторов
S·AB
– >
AB
=
A
B
и векторная часть произведения векторов
V·AB
=>
AxB
– >
e
A
B
лингвистически последовательнее отражают существо теоремы приведения, чем наши в общем-то жаргонные обороты «скалярное и векторное произведения».
Конечно, сейчас большинство из нас является приверженцами описания скалярных и векторных полей в действительных переменных, считая его нагляднее кватернионного. Но ведь наглядность - свойство человеческое - прививаемое и воспитываемое. А по строгости оба подхода равноправны.
Далее Максвелл, тоже вслед за Гамильтоном, вводит оператор дифференцирования
=
i
x
+
j
x
+
k
x
.
Собственно говоря, это и есть истинный oператор Гамильтона, а наш модифицированный вариант «набла» приспособлен к действительным переменным и не содержит комплексных факторов i, j, k. С помощью этого оператора образуются три новых математических образа: градиент скаляра (·), ротор или вихрь вектора
V·A
=
rot A
=
xA
– >
e
A
и конвергенция (равная дивергенции с обратным знаком)
– S·A
=
– div A
=
·A
=
A
,
а также соответствующие операции второго порядка, важнейшая из которых
·
=-
^2
xx
,
эквивалентна «нашему» лапласиану с противоположным знаком.
Важность этого математического языка несомненна. Без него уравнениям поля не удалось придать бы столь универсального охвата. Так что второе открытие Максвелла в «одушевлённой части» природы было связано с кватернионикой Гамильтона, и оно произошло тоже, как и в случае Фарадея, вопреки общепринятым мнениям профессионалов. Конечно, Максвелл не довёл этот аппарат до современного автоматизма, базирующегося на небольшом числе векторных тождеств, с которыми сейчас быстро осваиваются студенты, но это не умаляет его общей заслуги. Тем более что он пошёл в определённом смысле дальше. Ведь его цель состояла в придании аналитического представления идеям Фарадея, а тот видел поля, как целостные электрические и магнитные «пейзажи», что было адекватно лишь крупномасштабной топологии. И в этом случае Максвеллу опять «повезло»: его снова «поджидал» практически завершённый аппарат интегральных теорем, известных нам как теоремы Гаусса - Остроградского и Стокса, который позволил написать уравнения электромагнитного поля в интегральной форме. Правда, в отличие от дифференциальных, эти уравнения не собраны воедино в «Трактате», а разбросаны по специализированным главам. Но, как следует из Предварительной главы, Максвелл намеревался систематизировать свои топологические идеи на базе критериев перифрактичности, характеризующих трёхмерные многосвязные области.