Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Максвелл Джеймс Клерк

Уравнение для намагничения

B

=

H

+

4J

,

B

=

H

+

4M

,

(D)

B - магнитная индукция, H - напряжённость магнитного поля, M - вектор намагничения.

Уравнение для электрических токов

4C

=

V·H

,

4

c

j

^e

_пол

xB

=

xH

=

rot H

.

(E)

Уравнение

для токов проводимости

K

=

cE

,

j

^e

_пр

xB

=

E

,

(G)

– проводимость среды.

Уравнение для электрического смещения

D

=

1

4

kE

,

D

=

E

,

диэлектрическая проницаемость.

Уравнение для истинного тока

C

=

K+D

=

c

+

1

4

k

E

,

j

^e

_пол

xB

=

j

^e

_пр

xB

+

j

^e

_см

xB

=

+

4

t

E

.

(H),(I)

Уравнение для электрической объёмной плотности

e

=

S·D

,

4

^e

=

·D

=

div D

.

(J)

Уравнение для электрической поверхностной плотности ^e_пов

4

^e

_пов

=

n

x

(D-D)

,

(K)

n - нормаль к поверхности из среды 1 в среду 2.

Уравнение для намагничения

B

=

H

,

B

=

H

,

(L)

– магнитная проницаемость.

Уравнение для магнитной плотности

m

=

S·J

^m

=

– div M

=

– ·M

.

Уравнение для магнитной силы (когда rot H=0)

H

=

–

,

H

=

–

.

Итак, перед нами совокупность сводных уравнений (А) - , и мы в состоянии оценить их совершенство и правильность с позиций нашего

понимания. Вообще говоря, она отличается от системы, впоследствии канонизированной как система уравнений Максвелла. Но за малыми исключениями отличия скорее методические, а не принципиальные. Прежде всего совокупность (А) - по-другому организована; и в этом, и в некоторых её деталях ещё проглядываются следы моделей, принимавших участие в процессе поиска. Это те самые строительные леса, отмеченные ранее Максвеллом - с признательностью за оставление их - в трудах Фарадея, и выходит, что не по недосмотру сохранённые теперь им самим. Кроме того, при перегруженности системы (А) - в ней есть известная незавершённость: в частности, не проведено несколько «напрашивающихся» обобщений, даже из числа уже подготовленных и обсуждённых в тексте. И мы обязаны Дж. Дж. Томсону, Г. Герцу, О. Хевисайду и X. Лоренцу тем, что именно они оказались доброжелательно вдумчивыми последователями, сумевшими первыми осознать непреходящее значение этих уравнений и довести их до того общего по смыслу и изящного по форме состояния, которое в наше время принимается за образец физической теории.

Опуская промежуточные этапы и мотивировки действий, приведём систему уравнений Максвелла в её усовершенствованном представлении. Потом были предложены, возможно, более удачные (в отношении компоновки, объединения, обобщений, классификации по типам симметрии и инвариантности и т. п.) варианты записи [12], но данная форма (лишь слегка подправленная позже) остаётся и по сей день одной из наиболее употребительных:

rot H

=

4

c

j

^e

_пр

1

c

D

t

,

(1)

rot E

=-

1

c

B

t

,

(2)

div B

=

0

,

(3)

div D

=

4

^e

,

(4)

D

=

E

,

B

=

H

,

j

^e

=

E

^e

,

(5)

f

_мех

=

^e

E

+

1

c

j

^e

_пр

x

B

.

(6)

Причём даже порядок расстановки уравнений настолько прижился, что в «определённых кругах» (кастовость тут тоже регламентируется научным происхождением) часто говорят, «как следует из первого, второго и т.д. уравнения Максвелла», считая, видимо, перенумерацию отступничеством от Заветов Учителя, хотя легко усмотреть из сравнения (А) - с (1) - (6), что всё это дело рук Апостолов, а не Его самого.

Сейчас принимается такая классификация. Уравнения (1)- (4) - собственно уравнения электромагнитного поля. Уравнения (5) - материальные уравнения (в их простейшей разновидности - линейная изотропная среда с локальными и мгновенными взаимодействиями - без дисперсии). Сторонние поля E_стор могут быть включены в (5) или вставлены прямо в (1) - (4). Уравнение (6) выражает силу, действующую на свободные заряды и токи; через него осуществляется метрологическая связь с полями другой природы (механикой, гравитацией). Иногда (6) заменяется законом сохранения энергии, но тогда приходится делать оговорки, преждевременные на стадии постулирования общих законов движения.