Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
F
=
ea
V
f^2
–
ef
(f^2-a^2)^2
=
e
f^2
E
–
e
a^3(2f^2-a^2)
f(f^2-a^2)^2
.
(11)
Следовательно, сила взаимодействия точечного заряда со сферой является всегда притягивающей в следующих случаях: 1) когда сфера не изолирована, 2) когда сфера не заряжена, 3) когда точечный заряд расположен очень близко
Для того чтобы имело место отталкивание, потенциал сферы должен быть положителен и больше ef^3/(f^2-a^2)^2; заряд сферы должен быть того же знака, что и e, и больше, чем
e
a^3(2f^2-a^2)
f(f^2-a^2)^2
.
Равновесная точка является неустойчивой: при сближении тел появляется притяжение, при удалении - отталкивание.
Если точечный заряд находится внутри сферы, действующая на него сила всегда направлена от центра сферы и равна e^2af/(a^2-f^2)^2.
Для точечного заряда, расположенного вне сферы, поверхностная плотность заряда в точке сферы, ближайшей к точечному заряду, равна
1
=
1
4a^2
Va
–
e
a(f+a)
(f-a)^2
=
1
4a^2
E
–
e
a^2(3f-a)
f(f-a)^2
,
(12)
а в самой удалённой точке
2
=
1
4a^2
Va
–
e
a(f-a)
(f+a)^2
=
1
4a^2
E
+
e
a^2(3f+a)
f(f+a)^2
.
(13)
Если величина заряда E сферы заключена в пределах
e
a^2(3f-a)
f(f-a)^2
и
e
a^2(3f+a)
f(f+a)^2
то электризация сферы отрицательна вблизи точечного заряда и положительна с противоположной стороны. Существует некоторая окружность, разделяющая области с положительной и отрицательной электризацией. Эта окружность является линией равновесия.
При
E
=
ea
1
f^2-a^2
–
1
f
(14)
эквипотенциальная поверхность, пересекающая сферу по линии равновесия, является сферой с центром в месте нахождения точечного заряда и радиусом f^2-a^2.
Силовые линии и эквипотенциальные поверхности для этого случая показаны на рис. IV в конце этого тома.
Изображения в бесконечной проводящей плоскости
161. Если два точечных заряда A и B, рассматривавшихся в п. 156, равны по величине и противоположны по знаку, то поверхность нулевого потенциала является плоскостью, каждая точка которой находится на равном расстоянии от точек A и B [рис. 8].
Рис. 8
Следовательно,
Чтобы найти результирующую силу в точке P плоскости, заметим, что она складывается из двух слагаемых, равных e/(AP^2) причём одно действует вдоль AP а второе - вдоль PB.
Таким образом, результирующая сила направлена параллельно AB и равна
e
AP^2
·
AB
AP
.
Итак, сила, отсчитываемая наружу от поверхности в сторону точки A, равна
R
=
–
2eAD
AP^3
(15)
а плотность заряда в точке P равна
=
–
eAD
2AP^3
(16)
Об электрической инверсии
162. Метод электрических изображений непосредственно приводит к методу преобразования, позволяющему для любой электрической задачи, решение которой мы знаем, построить сколько угодно других задач и их решений.
Мы видели, что изображение точки, находящейся на расстоянии r от центра сферы радиуса R, находится на том же самом радиусе на расстоянии r', таком, что rr'=R^2. Таким образом, изображение системы точек, линий, поверхностей получается из исходной системы чисто геометрическим методом, известным под названием метода инверсии и описанного Шалем, (Chasles), Сальмоном (Salmon) и другими математиками.
Если A и B - две точки, A' и B' - их изображения [рис. 9], O - центр инверсии, a R - радиус сферы инверсии, то
OA
·
OA'
=
R^2
=
OB
·
OB'
.
Следовательно, треугольники OAB и OA'B' подобны и AB:A'B'=OA:OB'=OA·OB/R^2
Рис. 9
Если количество электричества e поместить в точку A, то его потенциал в точке B будет V=e/AB.
Если в точку A' поместить количество электричества e', то его потенциал в точке B' будет V'=e'/A'B'.
В теории электрических изображений e:e'=OA:R=R:OA', так что
V:V'
=
R:OB
,
(17)
т.е. потенциал в точке B, создаваемый зарядом в точке A, относится к потенциалу в изображении точки B от электрического изображения точки A, как R к OB.
Поскольку это отношение зависит лишь от OB и не зависит от OA, потенциал в точке B от произвольной системы заряженных тел относится к потенциалу в точке B' от изображения этой системы, как R к OB.