Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
– P
e– u– 1
e– 1
.
Таково, следовательно, количество электричества на первой, внутренней сфере. Изображения вне второй сферы образуют два расходящихся ряда, но каждое из этих изображений даёт нулевой вклад в поверхностный интеграл по поверхности сферы. Поэтому электрический заряд на внешней сферической поверхности равен
P
e– u– 1
e– 1
– 1
=
– P
e– e– u
e– 1
.
Если
заряд на
A
=
– P
·
OA
OP
·
PB
AB
,
заряд на
B
=
– P
·
OB
OP
·
AP
AB
.
Если радиусы сфер устремить в бесконечность, мы придём к случаю точки, расположенной между двумя параллельными плоскостями A и B. В этом случае выражения для зарядов принимают вид
заряд на
A
=
– P
·
PB
AB
,
заряд на
B
=
– P
·
AP
AB
.
172. Чтобы перейти от рассмотренного случая к случаю двух произвольных непересекающихся сфер, начнём с нахождения двух общих точек инверсии O и O', через которые проходят все окружности, ортогональные обеим сферам. Произведя затем инверсию системы по отношению к одной из этих точек, мы переведём наши сферы в две концентрические сферы, рассмотренные выше.
Рис. 15
Если точку O на рис. 15 принять за центр инверсии, то на рис. 14 она будет расположена где-то между двумя сферическими поверхностями.
Но в п. 171 мы решили задачу о точечном заряде, расположенном между двумя концентрическими проводниками, находящимися под нулевым потенциалом. Инвертируя эту систему по отношению к точке O, мы найдём, таким образом, распределения зарядов на двух сферических проводниках, находящихся под нулевым потенциалом и расположенных один вне другого, наводимые находящимся вблизи них точечным зарядом. В п. 173 будет показано, как использовать полученный результат для нахождения распределения на двух сферических заряженных проводниках, находящихся лишь под взаимным влиянием.
Радиус OAPB на рис. 14, на котором расположены последовательные изображения, переходит на рис. 15 в дугу окружности, проходящей через O и O', причём отношение O'P к OP равно Ceu где C - численный множитель.
Если положить
=
ln
O'P
OP
,
=
ln
O'A
OA
,
=
ln
O'B
OB
,
то -=, u+=. Все последующие изображения точки P будут лежать на дуге O'APBO.
Для отображения Q0 точки P в A
(Q
1
)
=
ln
O'Q0
OQ0
=
2-
.
Для
(P
1
)
=
ln
O'P1
OP1
=
+2
.
Аналогично
(P
s
)
=
+2s
,
(Q
s
)
=
2--2s
.
Точно так же, обозначая через Q'0, P'1, Q'1 и т. д. последовательные изображения P в B, A, B и т.д., получим
(Q'
0
)
=
2-
,
(P'
1
)
=
– 2
,
(P'
s
)
=
– 2s
,
(Q'
s
)
=
2-+2s
.
Для нахождения заряда каждого изображения Ps учтём, что в инвертированной системе (рис. 14) его заряд равен
P
OPs
OP
1/2
.
В исходной системе (рис. 15) эту величину следует дополнительно умножить на OPs. Следовательно, заряд в Ps на биполярной фигуре (поскольку P=P/OP), равен
P
OPs·O'Ps
OP·O'P
1/2
Положим =OP·O'P и будем называть параметром точки P Тогда Ps=(s/)P, т. е. заряд каждого изображения пропорционален его параметру.
Если воспользоваться криволинейными координатами и так, что
e
+1
=
x++1y-k
x++1y+k
,
где 2k-расстояние OO' то 2
x
=
–
k sh
ch -cos
,
y
=
k sin
ch -cos
,
x^2
+
(y-k ctg )^2
=
k^2csc^2
,
(x+k cth )^2
+
y^2
=
k^2csh^2
,
ctg
=
x^2+y^2-k^2
2ky
,
cth
=
x^2+y^2+k^2
2kx
,
=
2k
ch -cos