Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

Пусть r - расстояние произвольной точки A от центра, r' - расстояние его изображения A' от центра, e - электризация точки A, e' -электризация точки A'; L, S, K - элементы длины, поверхности и объёма у точки A; L', S', K' - их изображения у точки A'; , , , ', ', ', - соответствующие линейные, поверхностные и объёмные плотности электризации в этих двух точках, V - потенциал в точке A, создаваемый исходной системой, а V' - потенциал в точке A', создаваемый инверсной системой. Тогда

r'

p

=

L'

L

=

R²

r²

=

r'²

R²

,

S'

S

=

R⁴

r⁴

=

r'⁴

R⁴

,

K'

K

=

R⁶

r⁶

=

r'⁶

R⁶

,

e'

e

=

R

r

=

r'

R

,

'

=

r

R

=

R

r'

,

'

=

r³

R³

=

R³

r'³

,

'

=

r⁵

R⁵

=

R⁵

r'⁵

,

V'

V

=

r

R

=

R

r'

.

(18)

¹

¹

См. «Natural Philosophy» Томсона и Тэта, § 515.

Если в исходной системе некоторая поверхность была поверхностью проводника, так что потенциал на ней был постоянен и равен P то в преобразованной системе на изображении поверхности будет потенциал PR/r'. Но если поместить в центре инверсии O количество электричества - PR, то потенциал преобразованной поверхности станет равным нулю.

Следовательно, если известно распределение электричества на изолированном проводнике в свободном пространстве, заряженном до потенциала P, то можно с помощью инверсии найти распределение на заземлённом проводнике, являющемся изображением исходного проводника, устанавливающееся под влиянием точечного заряда -PR, помещённого в центр инверсии.

163. При исследовании различных случаев инверсии полезны следующие геометрические теоремы.

Каждая сфера переходит при инверсии в сферу, если только она не проходит через центр инверсии. В последнем случае она переходит в плоскость.

Если расстояния центров этих двух сфер от центра инверсии обозначить через a и a', их радиусы - через и ' и определить показатель (power)

сферы по отношению к центру инверсии как произведение отрезков, отсекаемых сферой на линии, проходящей через центр инверсии, то для первой сферы показатель равен a^2-^2, а для второй - a'^2-'^2. При этом

a'

a

=

'

=

R^2

a^2-^2

=

a'^2-'^2

R^2

,

(19)

т.е. отношение расстояний центров первой и второй сферы от центра инверсии равно отношению их радиусов, отношению показателя сферы инверсии к показателю первой сферы и отношению показателя второй сферы к показателю сферы инверсии.

Изображение центра инверсии по отношению к одной из сфер является точкой инверсии центра другой сферы.

В случае, когда инверсными поверхностями являются плоскость и сфера, перпендикуляр из центра инверсии на плоскость относится к радиусу инверсии как этот радиус относится к диаметру сферы, центр сферы расположен на этом перпендикуляре, а сама сфера проходит через центр инверсии.

Любая окружность инвертируется в окружность, если только она не проходит через центр инверсии. В этом случае она инвертируется в прямую.

Углы между двумя пересекающимися поверхностями или линиями не меняются при инверсии.

Любая окружность, проходящая через некоторую точку и через её изображение в сфере, пересекает эту сферу под прямыми углами.

Следовательно, любая окружность, проходящая через некоторую точку и пересекающая сферу инверсии под прямыми углами, проходит и через изображение этой точки.

164. Метод инверсии можно применить для определения распределения электричества на заземлённой сфере под действием точечного заряда, исходя из однородного распределения на изолированной сфере в отсутствие других тел.

Если точечный заряд находится в точке A то примем её за центр инверсии, тогда для сферы радиуса a центр которой находится на расстоянии f от точки A, инвертированной фигурой будет сфера радиуса a' с центром на расстоянии f', где

a'

a

=

f'

f

=

R^2

f^2-a^2

.

(20)

Центр каждой из этих сфер совпадает с инверсной точкой для A относительно другой сферы, т. е. если C - центр, а B - инверсная точка первой сферы, то C' - инверсная точка, а B' - центр второй сферы.

Пусть теперь e - количество электричества, сообщённое второй сфере, на которую не действуют внешние силы. Оно распределится равномерно по сфере с поверхностной плотностью

'

=

e'

4a'^2

.

(21)

Действие его в любой точке вне сферы точно такое же, как действие заряда e', помещённого в центре сферы B'.

На самой сферической поверхности и внутри неё потенциал равен постоянной величине

P'