Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
347. Мостик Уитстона состоит, по существу, из шести проводников, соединяющих четыре точки. К двум из этих точек прикладывается электродвижущая сила E с помощью вольтовой батареи, введённой между B и C. Ток между двумя другими точками O и A измеряется гальванометром [рис. 32].
Рис. 32
При определённых условиях этот ток обращается в нуль. Тогда говорят, что проводники BC и OA сопряжены один другому, что накладывает определённую связь
Если ток через OA равен нулю, потенциал в точке O должен быть равен потенциалу в точке A. Но если мы знаем потенциалы в B и C, мы можем определить потенциалы в O и A с помощью правил, данных в п. 275, с учётом того, что ток в OA отсутствует:
O
=
B+C
+
,
A
=
Bb+Cc
b+c
,
откуда получаем условие b=c, где b, c, , обозначают соответственно сопротивления участков CA, AB, BO и OC.
Чтобы определить степень точности, достижимую в этом методе, мы должны определить силу тока в OA если это условие не выполнено точно.
Пусть A, B, C, и O - четыре точки. Пусть токи, текущие вдоль BC, CA, и AB, равны соответственно x, y и z, а сопротивления этих проводников - a, b и c. Пусть токи, текущие вдоль OA, OB и OC равны , , , а соответствующие сопротивления равны , и . Пусть электродвижущая сила E действует вдоль BC Требуется определить ток через OA.
Обозначим потенциалы в точках A, B, C и O буквами A, B, C и O. Уравнения, определяющие прохождение тока, будут
ax
=
B-C+E,
=
O-A,
by
=
C-A,
=
O-B,
cz
=
A-B,
=
O-C,
а уравнения непрерывности:
+y+z
=
0,
+z-x
=
0,
+x-y
=
0.
Рассматривая систему как образованную тремя цепями OBC, OCA и OAB в которых токи соответственно равны x, y, и z, и применяя к каждой замкнутой цепи правило Кирхгофа, мы исключаем значения потенциалов O, A, B, C и токов , , и получаем следующие уравнения для x, y, и z:
(a++)
x
–
y
–
z
=
E,
–
x
+(b++)
y
–
z
=
0,
–
x
–
y
+(c++)
z
=
0.
Отсюда, если мы положим
D
=
a++,
– ,
– ,
,
– ,
b++,
– ,
– ,
– ,
c++
найдём
=
E
D
(b-c)
и
x
=
E
D
{
(b+)
(c+)
+
(b+c++)
}.
348.
D
+
abc
+
bc(+)
+
ca(+)
+
ab(+)
+
+
(a+b+c)
(++)
,
или, так как мы предполагаем, что батарея составляет часть проводника a, а гальванометр - часть проводника , можем вместо а писать сопротивление батареи B, а вместо a - сопротивление гальванометра G. Мы тогда находим
D
=
BG
(b+c++)
+
B(b+)(c+)
+
+
G(b+c)(+)
+
bc(+)
+
+(b+c)
.
Если бы электродвижущая сила E действовала вдоль отрезка OA, причём сопротивление отрезка OA было бы по-прежнему равно , и если бы гальванометр был включён в BC, причём сопротивление BC было бы по-прежнему равно a, то величина D не изменилась бы и ток в BC, вызванный электродвижущей силой E, действующей вдоль OA, был бы равен току в OA, вызванному электродвижущей силой E, действующей в BC.
Но если мы просто отъединим батарею и гальванометр и, не меняя их соответствующих сопротивлений, присоединим батарею к точкам O и A, а гальванометр - к точкам B и C, то в выражении для D мы должны поменять местами B и G. Если обозначить через D' выражение, в которое переходит D после такой перестановки, мы находим
D-D'
=
(G-B)
{
(b+c)
(+)
–
(b+)
(+c)
}=
=
(B-G)
{
(b-)
(c-)
}.
Предположим, что сопротивление гальванометра больше, чем сопротивление батареи.
Предположим также, что в своём первоначальном положении гальванометр соединяет контакт двух проводников, и , обладающих наименьшими сопротивлениями, с контактом двух проводников b, c, обладающих наибольшими сопротивлениями. Другими словами, мы будем предполагать, что если величины b, c, , расположены в порядке возрастания, то b и c стоят рядом и и стоят рядом. Поэтому величины b- и c- имеют один и тот же знак, вследствие чего их произведение положительно, и потому D-D' имеет тот же самый знак, что B-G.
Следовательно, если сделать так, чтобы гальванометр соединял контакт между двумя наибольшими сопротивлениями с контактом между двумя наименьшими сопротивлениями, и если у гальванометра сопротивление больше, чем у батареи, то величина D будет меньше, а величина отклонения гальванометра - больше по сравнению с тем случаем, когда соединения переставлены местами.
Отсюда вытекает следующее правило для получения наибольших отклонений гальванометра в данной системе: из двух сопротивлений, батареи и гальванометра, большее нужно подключить так, чтобы оно соединяло два наибольших и два наименьших из остальных четырёх сопротивлений.