Учебное пособие по курсу «Нейроинформатика»

Миркес Е. М.

(13)

где a_j — n-мерные вектора над полем действительных чисел.

Если все вектора a_i=a, то будем говорить о k-й тензорной степени вектора a, и использовать обозначение a^⊗k. Для дальнейшего важны следующие элементарные свойства тензоров вида (13).

1. Пусть

и

,

тогда скалярное произведение этих векторов может быть вычислено по формуле

(14)

Доказательство этого свойства следует непосредственно из свойств тензоров общего вида.

2. Если в условиях свойства 1 вектора являются тензорными степенями, то скалярное произведение имеет вид:

(15)

Доказательство непосредственно вытекает из свойства 1.

3. Если вектора a и b ортогональны, то есть (a,b) = 0, то и их тензорные степени любой положительной валентности ортогональны.

Доказательство вытекает из свойства 2.

4. Если вектора a и b коллинеарны, то есть b = λa, то a^⊗k=λ^ka^⊗k.

Следствие. Если множество векторов

содержит хотя бы одну пару противоположно направленных векторов, то система векторов

будет линейно зависимой при любой валентности k.

5. Применение к множеству векторов

невырожденного линейного преобразования B в пространстве Rⁿ эквивалентно применению к множеству векторов

линейного невырожденного преобразования, индуцированного преобразованием B, в пространстве

.

Сюръективным мультииндексом α(L) над конечным множеством L назовем k-мерный вектор, обладающий следующими свойствами:

1. для любого iL существует j∈{1, …, k} такое, что α_j=i;

2. для любого j∈{1, …, k} существует i∈L такое, что α_j=i.

Обозначим через d(α(L),i) число компонент сюръективного мультииндекса α(L) равных i, через |L| — число элементов множества L, а через Α(L) — множество всех сюръективных мультииндексов над множеством L.

Предложение 1. Если вектор a представлен в виде

, где β_i — произвольные действительные коэффициенты, то верно следующее равенство

(16)

Доказательство предложения получается возведением

в тензорную степень k и раскрытием скобок с учетом линейности операции тензорного умножения.

В множестве

, выберем множество X следующим образом: возьмем все (n-1)-мерные вектора с координатами ±1, а в качестве n-й координаты во всех векторах возьмем единицу.

Предложение 2. Множество x является максимальным множеством n-мерных векторов с координатами равными ±1 и не содержит пар противоположно направленных векторов.

Доказательство. Из равенства единице последней координаты всех векторов множества X следует отсутствие пар противоположно направленных векторов. Пусть x — вектор с координатами ±1, не входящий в множество X, следовательно последняя координата вектора x равна минус единице. Так как в множество X включались все (n-1) — мерные вектора с координатами ±1, то среди них найдется вектор, первые n-1 координата которого равны соответствующим координатам вектора x со знаком минус. Поскольку последние координаты также имеют противоположные знаки, то в множестве X нашелся вектор противоположно направленный по отношению к вектору x. Таким образом множество X максимально.

Таким образом в множестве X содержится ровно 2^{n– 1} вектор. Каждый вектор x∈X можно представить в виде

, где I⊂{1, …, n– 1}. Для нумерации векторов множества X будем использовать мультииндекс I. Обозначим через |I| число элементов в мультииндексе I. Используя введенные обозначения можно разбить множество X на n непересекающихся подмножеств: P_i = {x_I, |I|=i},

.

Теорема. При k<n в множестве {x^⊗k} линейно независимыми являются

векторов.

Для доказательства этой теоремы потребуется следующая интуитивно очевидная, но не встреченная в литературе лемма.

Лемма. Пусть дана последовательность векторов

a₁,a₂=a¹₂+a²₂,a₃=a¹₃+a²₃,…,a_m=a¹_m+a²_m

таких, что (a_i,a²_j)=0 при всех i<j и (a¹_i,a²_i)=0, a²_i≠0 при всех i, тогда все вектора множества {a_i} линейно независимы.

Доказательство. Известно, что процедура ортогонализации Грама приводит к построению ортонормированного множества векторов, а все вектора линейно зависящие от предыдущих векторов последовательности обращаются в нулевые. Проведем процедуру ортогонализации для заданной последовательности векторов.