Учебное пособие по курсу «Нейроинформатика»

Миркес Е. М.

Выбор начального приближения

Как и во многих других итерационных методах, в задаче обучения сети Кохонена и в методе динамических ядер важным является вопрос о хорошем выборе начального приближения (первоначальных значений ядер). Существует множество методов выбора начального приближения.

Наиболее простым способом решения этой задачи в случае, когда ядра являются точками того же пространства, что и объекты, является выбор в качестве начального приближения значений ядер значений объектов. Например первое ядро кладем равным первому объекту, второе — второму и т. д. К сожалению этот метод не работает когда пространство ядер и пространство объектов не совпадают. Далее будут приведены примеры классификаций, в которых пространства ядер и объектов различны.

Самым универсальным способом задания начального положения ядер является задание начального разбиения объектов

на классы. При этом в начальном разбиении могут участвовать не все объекты. Далее решая задачу (4) получаем начальные значения ядер. Далее можно использовать метод динамических ядер.

Примеры видов классификации

В данном разделе описаны некоторые виды классификации и соответствующие им меры близости. Приведены формулы решения задачи (4) при использовании метода динамических ядер. Для других видов классификации решение задачи (4) строится аналогично.

Сферическая модель

Один вид классификации — сеть Кохонена на сфере был описан ранее. Получим формулы для решения задачи (4) при мере близости «минус скалярное произведение» (минус перед скалярным произведением нужен для того, чтобы решать задачу минимизации (1) и (4), поскольку, чем ближе векторы, тем больше скалярное произведение).

Обозначим через x^ij объекты, принадлежащие i– му классу. Учитывая дополнительное условие на значение ядра — его единичную длину — и применяя метод множителей Лагранжа для решения задач поиска условного экстремума, получим следующую задачу:

(5)

Дифференцируя (5) по каждой из координат ядра и по множителю Лагранжа λ, и приравнивая результат дифференцирования к нулю, получим следующую систему уравнений:

(6)

Выразив из первых уравнений aⁱ_l и подставив результат в последнее выражение найдем λ, а затем найдем координаты ядра:

(7)

Рис. 8. Решение задачи методом динамических ядер

Подводя итог, можно сказать, что новое положение ядра есть среднее арифметическое объектов данного класса, нормированное на единичную длину.

На рис. 8. Приведено решение второго примера методом обучения сети Кохонена с уменьшением скорости с 0,5, а на рис. 9 — решение той же задачи методом динамических ядер. В качестве первоначального значения ядер выбраны два первых объекта.

Рис. 9. Решение задачи с помощью обучения сети Кохонена со снижением скорости обучения с 0,5. График суммарного изменения разностей координат ядер.

Пространственная модель

Эта модель описывает наиболее естественную классификацию. Нейрон пространственной сети Кохонена приведен в главе «Описание нейронных сетей». Ядра являются точками в пространстве объектов. Мера близости — квадрат обычного евклидова расстояния. Обучение сети Кохонена ведется непосредственно по формуле (2). Задача (4) имеет вид:

(8)

Дифференцируя (8) по каждой координате ядра и приравнивая результат к нулю получаем следующую систему уравнений:

Преобразуя полученное выражение получаем

, (9)

где |K_i| — мощность i-го класса (число

объектов в классе). Таким образом, оптимальное ядро класса — среднее арифметическое всех объектов класса.

Модель линейных зависимостей

Это первая модель, которая может быть решена методом динамических ядер, но не может быть получена с помощью обучения сети Кохонена, поскольку ядра не являются точками в пространстве объектов. Ядрами в данной модели являются прямые, а мерой близости — квадрат расстояния от точки (объекта) до прямой. Прямая в n—мерном пространстве задается парой векторов: aⁱ = (bⁱ, cⁱ). Первый из векторов задает смещение прямой от начала координат, а второй является направляющим вектором прямой. Точки прямой задаются формулой x = b + tc, где t — параметр, пробегающий значения от минус бесконечности до плюс бесконечности. t имеет смысл длины проекции вектора x-b на вектор c. Сама проекция равна tc. При положительном значении вектор проекции сонаправлен с вектором c, при отрицательном — противоположно направлен. При условии, что длина вектора c равна единице, проекция вычисляется как скалярное произведение (x–b,c). В противном случае скалярное произведение необходимо разделить на квадрат длины c. Мера близости вектора (точки) x определяется как квадрат длины разности вектора x и его проекции на прямую. При решении задачи (4) необходимо найти минимум следующей функции:

Продифференцируем целевую функцию по неизвестным t^q, cⁱ_r, bⁱ_r и приравняем результаты к нулю.

(10)

Выразим из последнего уравнения в (10) bⁱ_r:

(11)

В качестве bⁱ можно выбрать любую точку прямой. Отметим, что для любого набора векторов x^ij и любой прямой с ненулевым направляющим вектором cⁱ на прямой найдется такая точка bⁱ, что сумма проекций всех точек на прямую x = b + tc будет равна нулю. Выберем в качестве bⁱ такую точку. Второе слагаемое в правой части (11) является r-й координатой суммы проекций всех точек на искомую прямую и, в силу выбора точки bⁱ равно нулю. Тогда получаем формулу для определения bⁱ:

(12)

Из первых двух уравнений (10) получаем формулы для определения остальных неизвестных:

(13)

Поиск решения задачи (4) для данного вида классификации осуществляется по следующему алгоритму:

1. Вычисляем bⁱ по формуле (12).

2. Вычисляем t по первой формуле в (13).

3. Вычисляем cⁱ по второй формуле в (13).