Учение о бытии
Шрифт:
Число по своему принципу, одному, есть вообще нечто внешне сочетанное, просто аналитическая фигура, не содержащая в себе никакой внутренней связи. Так как оно есть лишь внешним образом произведенное, то каждый счет есть произведение чисел, считание или определеннее — сосчитывание. Различие этого внешнего произведения, совершающего постоянно одно и то же, может заключаться лишь во взаимном различении сосчитываемых чисел; такое различение само должно проистекать из чего-либо другого и из внешнего определения.
Качественное различие, составляющее определенность числа, есть, как мы видели, различие единицы и определенного числа; к ним сводится поэтому вся определенность понятия, которая может иметь место в видах счета. Различие же, которое присуще числам, как определенным количествам, есть внешнее тожество и внешнее различение, равенство и неравенство, причем эти рефлективные моменты имеют быть рассмотрены при категории различения,
21
Во второй части логики. — Прим. перев.
Далее нужно предпослать то заключение, что числа могут вообще быть производимы двумя способами, или через присовокупление, или через отделение из образованной уже совокупности; и так как каждое имеет место относительно образованного одним и тем же способом вида числа, то присовокуплению чисел соответствует то, что может быть названо положительным видом счета, а отделение — тому, что может быть названо отри{129}цательным видом счета; определение же самого вида счета не зависит от этой противоположности.
1. После этих замечаний перейдем к изложению способов счета. Первое образование числа есть совокупление многих, как таковых, т. е. из коих каждое положено, лишь как одно — нумерация (счисление). Так как одни противоставлены одно другому, как внешние, то они изображаются в чувственном образе, и действие, через которое производится число, есть счет по пальцам, по точкам и т. п. Что такое четыре, пять и т. д., может быть лишь показано. Остановка на том, сколько сосчитано, поскольку граница есть нечто внешнее, есть нечто случайное, произвольное. Различение определенного числа и единицы, вступающее в силу при процессе счета, обосновывает собою систему — двоичную, десятиричную и т. д. — счисления; она в общем зависит от произвольного выбора за новую, постоянную единицу того или иного определенного числа.
Возникающие через нумерацию числа вновь подвергаются нумерации; и поскольку они положены так непосредственно, они определяются еще без всякого отношения одно к другому, безразлично относительно равенства и неравенства, в случайной относительной величине, — поэтому вообще, как неравные, — сложение. Что 7 и 5 составляют двенадцать, узнается таким путем, что к 7 принумеровывается еще 5 одних по пальцам или иным способом, результат чего удерживается затем в памяти наизусть, так как в этом случае нет ничего внутреннего. Равным образом мы узнаем, что 7*5=35, через счет по пальцам и т. п., прибавляя к одной семерке еще другую, повторяя это пять раз и затем также удерживая результат в памяти. Труд такой нумерации, нахождение сумм и произведений, совершается при помощи «одно да одно» или «единожды одно одно», чт'o также можно выучить лишь наизусть.
Кант (во «Введении к критике чистого разума», V) считает предложение 7+5=12 синтетическим. «Правда, говорит он, можно бы было сначала подумать (конечно!), что это чисто аналитическое предложение, получаемое из понятия суммы семи и пяти по началу противоречия». Понятие суммы не означает ничего более, кроме того отвлеченного определения, что эти два числа должны быть совокуплены и притом, как числа, внешним образом, т. е. без помощи понятий, что начиная с семи нужно продолжать нумерацию до тех пор, покуда будут исчерпаны прибавляемые единицы, счетом до пяти; результат носит уже известное заранее название двенадцати. «Но, продолжает Кант, при ближайшем рассмотрении оказывается, что понятие суммы 7-ми и 5-ти не содержит ничего, кроме соединения двух чисел в одно, причем вовсе не мыслится о том, какое это одно число, соединяющее в себе оба»; …«сколько бы я ни расчленял мое понятие о такой возможной сумме, я все же не найду в ней двенадцати». Действительно, с мыслию о сумме, с расчленением понятия, переход от этой задачи к ее результату не имеет ничего общего; «должно выйти за пределы этих понятий, прибегнуть к помощи воззрения, пяти пальцев {130}и т. п. и присоединить таким образом к понятию семи единиц данные в воззрении пять», прибавляет он. Конечно, пять дано в воззрении, т. е. есть совершенно внешнее сочетание произвольно повторенной мысли, одного; но и семь есть столь же мало понятие; здесь нет никаких понятий, за пределы которых выходят. Сумма 5-ти и 7-ми означает чуждое понятию соединение обоих чисел; этот столь чуждый понятию счет, начиная от семи, продолженный до тех пор, пока будет исчерпано пять, можно назвать сочетанием, синтезированием, также как нумерацию одних — синтезированием, которое, однако, имеет совершенно аналитическую природу, так как это связь совершенно искусственная (gemacht), в нее не привзошло ничего, что не было бы совершенно внешним. Требование сложить 7 с 5-ю относится к требованию нумерации вообще, как требование продолжить прямую линию к требованию провести прямую линию.
Насколько пусто выражение «синтез», настолько же пусто то определение, что он происходит а priori. Правда, счет не есть
В связи с этим можно прибавить, что утверждение Канта о синтетическом свойстве основоначал чистой геометрии также мало основательно. Признавая, что многие из них в действительности суть аналитические суждения, он приводит в доказательство первого мнения лишь то основоположение, что прямая линия есть кратчайшее расстояние между двумя точками. «Именно мое понятие о прямизне не говорит ничего о величине, а только о качестве; понятие кратчайшего привнесено, стало быть, совершенно извне и никаким расчленением не может быть извлечено из понятий прямой линии; следовательно, здесь должно прибегнуть к пособию воззрения, которое делает синтез единственно возможным». Но тут идет речь не о понятии прямого вообще, а о прямой линии, а эта последняя есть уже нечто протяженное, наглядное. Определение же (или, если угодно, понятие) прямой линии состоит, конечно, ни в чем ином, как в том, что она есть только простая линия, т. е. что в своем выходе вне себя (так называемом движении точки) относится только к себе, что в ее протяжении не положено никакого различия определений, никакого отношения к какой-либо точке или линии вне ее: она есть только в себе простое направление. Эта простота есть конечно ее качество, и если по-видимому прямую линию трудно определить аналитически, то единственно вследствие определения простоты или отношения к себе самой и просто потому, что при определении рефлексия прежде всего имеется в виду преимущественно множественность, определение {131}через другое; но просто для себя нисколько не трудно понять это определение простоты протяжения в себе, это отсутствие определения через другое; определение Евклида не содержит в себе ничего, кроме этой простоты. Переход же этого качества в количественное определение (кратчайшей), в котором должен состоять синтез, совершенно аналитический. Линия, как пространственная, есть количество вообще; простейшее, что может быть сказано о количестве, есть наименьшее, и это, высказанное о линии, есть кратчайшее. Геометрия может принять эти определения, как дополнение к определению; но Архимед в своих Книгах о шаре и цилиндре поступил всего целесообразнее, установив определение прямой линии, как аксиому, столь же правильно, как поступил Евклид, поставив в числе аксиом определение, касающееся параллельных линий, так как развитие его, чтобы стать настоящим определением, потребовало бы также не относящихся непосредственно к пространственности, но более отвлеченных качественных определений, каковы в применении к линии простота, равенство направления и т. п. Эти древние сообщили и своим наукам пластический характер, строго ограничивая свое изложение особенностями данного содержания, а потому исключая то, что было бы разнородно ему.
Понятие, которое Кант установил в учении о синтетических суждениях a priori — понятие различного, которое вместе с тем нераздельно, тожественного, которое само по себе есть нераздельное различие, принадлежит к тому, что в его философии есть великого и бессмертного. Правда, воззрению также присуще это понятие, так как последнее есть понятие, как таковое, и все в себе есть понятие, но определения, которые даны в приведенных примерах, не выражают его; напротив, число и счет чисел есть тожество и произведение тожества, которые суть лишь внешний, поверхностный синтез, единство единиц, которые в них не тожественны между собою, но положены лишь как внешние, раздельные для себя; в прямой линии то определение, что она есть кратчайшая между двумя точками, содержит в себе скорее лишь момент отвлеченно тожественного, не основываясь на различении в нем самом.
Я возвращаюсь от этого отступления к самому сложению. Соответствующий ему отрицательный вид счета, вычитание, есть также совершенно аналитическое отделение чисел, которые, как и в сложении, вообще определяются, лишь как неравные одно относительно другого.
2. Ближайшее определение есть равенство чисел, подлежащих нумерации. Вследствие этого равенства, число есть единица, и в нем выступает различие единицы и определенного числа. Умножение имеет задачею сосчитать вместе определенное число таких единиц, которые сами суть определенные числа. При этом безразлично, какое из обоих чисел полагается за единицу, и какое за определенное число, говорим ли мы четырежды три, где четыре есть определенное число, а три — единица, или, наоборот, трижды четыре. Выше уже указано, что первоначальное нахождение произведения совершается посредством простой нумерации, т. е. отсчитывания {132}на пальцах и т. п.; позднее возможность непосредственного получения произведения основывается на собрании таких произведений, на таблице умножения и на выучивании ее наизусть.