ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

Бобров Сергей Павлович

и ясно, что сумма их будет равна в каждой полосе

(n + 1)n / 2

– 349 -

по правилу суммы арифметической прогрессии. Раз это так, то ясно, что сумма всех полос доски будет равна

(n + 1)n² / 2

Теперь рассмотрим, каковы будут суммы "по гномонам". Ясно, что сумма чисел энного гномопа будет

n²+ (1 + 2 + 3 + ... + n-1).

Эту сумму можно записать еще иначе, то есть:

n²+ n(n + 1) / 2

и окончательно:

2/3n²– (1/2)n

Теперь я буду давать в этой формуле числу и значения 1, 2,3... и до n включительно. Суммы тогда

будут равны по окончательному написанию:

3/2 • 1²– 1/2 • 1

3/2 • 2²– 1/2 • 2

3/2 • 3²– 1/2 • 3

.........

.........

3/2 • n²– 1/2 • n

Сложив все это столбиком, получаю для всех полос:

3/2 • S₂– 1/2 • S

где S₂ есть сумма квадратов первых и натуральных чисел, а S - сумма их первых степеней. Приравнивая, как и ранее, сумму "по прямым" сумме "по гномонам", получаю:

3/2 • S₂– 1/2 • S = n²(n + 1) / 2

– 350 -

а отсюда определяю, чему равняется S2 и после ряда несложных переделок, которые, конечно, ты и сам не откажешься выполнить, получаю сумму квадратов первых и натуральных чисел, которая будет:

S₂ = (2n + 1)(n + 1)n / 6.

Советую тебе еще написать в клетках шашечницы пифагорову таблицу умножения и по ней найти, чему равна сумма кубов первых n чисел. Если же ты напишешь в клетках квадраты чисел пифагоровой таблицы, то сможешь найти и сумму пятых степеней. Однако нам пока это все, кроме суммы квадратов, не понадобится. Приступим теперь к вопросу об интегрировании. Допустим, что нам дана парабола, уравнение которой будет:

y = х²,

и нам нужно эту функцию проинтегрировать, или найти площадь, ограниченную параболой от начала координат до точки с абсциссой b, то есть площадь, ограниченную отрезком самой параболы, отрезком оси абсцисс и ординатой в точке х = b.

Для этого мы сначала делим интервал (то есть отрезок абсциссы) от нуля до b на n равных частей. Длина каждой такой части будет

h = b / n

Вся площадь теперь разбита на трапецоиды, ширина каждого из которых равна, как уже указано, b/n, а вышину мы определяем, согласно уравнению кривой, для последовательных точек параболы, как

h², h2²h², 3²h², ... , n²h²,

ибо ясно, что если х равен h, то у будет равен h² и так далее.

Но если это так, то площади последовательных прямоугольников, которыми мы заменяем наши трапецоиды, будут равны

hh², h2²h², h3²h², ... hn²h².

– 351 -

Видно, что сумма прямоугольников больше, нежели сумма трапецоидов, но при безграничном увеличении числа и искомая площадь будет пределом суммы прямоугольничков, то есть пределом следующего выражения:

h(h² + 2²h² + 3²h² + ... + n²h²) = h³(1² + 1² + 2² + 3² + ... + n²) = b³/n³(1² + 1² + 2² + 3² + ... + n²)

А

так как шахматная доска уже объяснила нам, что сумма первых и квадратов натурального ряда равна

(2n + 1)(n +1)n / 6

то мы, подставляя это выражение в предыдущую формулу, после некоторых несложных переделок получим:

b³/6 (1 + 1/n)(2 + 1/n)

Спрашивается: что будет с этим выражением, если число и будет неограниченно возрастать? Ясно, что дробь 1/n будет неограниченно приближаться к нулю и ею мы можем пренебречь.

В таком случае предыдущее выражение в пределе обратится в

b³/3

что и является результатом нашего интегрирования. Знай, что это один из первых интегралов, полученных человеком, что человека этого звали Архимед и что он рассуждал примерно так, как и мы.

И тут Величайший Змии вырос снова перед ними. Он взглянул на Илюшу, и мальчику показалось, что это могущественное чудовище даже улыбнулось!

– 352 -

Схолия Семнадцатая,

в которой Илюша припоминает разные разности из предыдущих схолий, оставшиеся не совсем ясными, а Радикс рассказывает ему об истории надгробного камня Архимеда, погибшего от меча римского грабителя, о спирали Архимеда.

Затем следует масса любопытнейших подробностей о веретенах, о шотландском сыре, о фокусах, которые придумали древнегреческие геометры, о том, как в старину индусы решали кубические уравнения, как в шестнадцатом веке бедный мальчик-заика учился на кладбище грамоте, а также почему у квадрата такая большая площадь и что по этому поводу думает касательная; о битве за высоту над городом Клермоном. А затем Илюша присутствует при волшебном опыте, который поясняет, что такое прямая линия и какие чудеса с ней случаются при ее путешествиях в мировом пространстве. Вслед за этим Илюша и Радикс видят нечто чрезвычайно странное... Но пока это еще страшный секрет, который, может быть, раскроется в будущем...

– Ну, теперь ты доволен?
– спросил Радикс.

– Да, - сказал Илюша, - я узнал массу интересных вещей. Теперь я, кажется, понимаю, почему так уважают Архимеда и как велико могущество Змия. Но только у меня есть еще вопросы.

– Ну что ж! Давай твои вопросы. Может быть, как-нибудь вдвоем разберемся.

– 353 -

– Помнишь, ты где-то, кажется в Схолии Одиннадцатой, перечислял мне титулы Величайшего Змия? Так вот, я хотел тебя спросить о них. О площадях я теперь понял: путем интегрирования можно получить площадь любой криволинейной фигуры. С объемами я тоже как будто сообразил. Это, вероятно, делается путем суммирования бесконечно тонких слоев тела, как Демокрит считал объем конуса?

– Правильно. А сейчас мы можем закончить вывод формулы для объема конуса, о которой мы толковали в Схолии Пятнадцатой. Если рассечь конус плоскостью, проходящей через его ось, то получится треугольник. Из рассмотрения этого треугольника ты убедишься в том, что радиус основания цилиндрика, отстоящего на расстояние h от вершины, определится при помощи пропорции:

r/R = h/H

где R - радиус основания, а H - высота конуса. Отсюда

r = (R/H)h

и площадь основания цилиндрика будет