ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ
Шрифт:
Люди и раньше, конечно, знали, что пропорциональная зависимость между двумя величинами наблюдается не всегда.
И только работы Галилея впервые показали, как именно в случае падения осуществляется зависимость между временем и пройденным расстоянием, а кроме того, впервые был получен и точно сформулирован закон связи двух переменных величин, более сложный, чем тройное правило и пропорциональная зависимость.
– А что же тут такого?
– спросил Илюша.
– Не понимаю, почему нельзя рассуждать об изменении явлений, исходя из простой пропорциональности, если это всякому понятно?
– Дело не в том, что нам "понятно", - продолжал Радикс, - и какого мы "мнения" о явлениях, а в том, каковы законы этих явлений! А ведь они существуют сами по себе, мы можем только изучать их, по не навязывать явлениям
– 339 -
Но можно ли из этого вывести, что более легкий диск, в двадцать граммов весом, ты закинешь согласно тронному правилу на семьсот двадцать шагов, то есть без малого на полкилометра? Разумеется, это сплошная ахинея, ибо такой очень легкий предмет далеко не забросишь, а уж о полкилометре смешно и говорить даже. Нередко исследователь вовсе и не задается вопросом "почему?". Очень хорошо, если он может ответить на вопрос "как?". Мы не знаем, что такое тяготение, но отлично знаем, как оно действует, и поэтому можем вычислить и траекторию артиллерийского снаряда, и толщину фундамента для большого здания, и многое другое. На этот вопрос Галилей дал совершенно точный ответ для случая падения тел. Надо еще принять во внимание то, что открытия Кеплера и Галилея связали воедино механику с геометрией, то есть как раз такие две науки, которые греки как бы противопоставляли одну другой. А вскоре выяснилось, что метод касательных имеет непосредственное отношение к бесконечно малым.
– Вот как!
– сказал Илюша.
– Как же это получилось?
– Дело вот в чем, - отвечал Радикс.
– Давай-ка нарисуем кривую и проведем секущую. Она пересечет кривую на чертеже два раза - в точках А и Б. Дальше мы будем рассуждать так. Наша кривая связывает две величины - х и у. Их мы будем называть переменными: икс - независимой переменной, а игрек - зависимой. Ведь действительно, вспомни, как мы подставляли в уравнения различные произвольные значения икса и следили за изменением игрека. Значит, в самом деле игрек изменяется в зависимости от икса. Или, как принято говорить, игрек есть функция икса.
Если заставить точку В двигаться по кривой АВ к точке А, то секущая ABF, поворачиваясь около точки А, будет приближаться к некоторому предельному положению, когда бесконечно малое расстояние между точками А и С обратится в нуль; в этот миг секущая превратится в касательную.
Теперь заметим, что в точке А икс равен, допустим, некоторой величине ха, а игрек соответственно равен уa. Теперь увеличим немного икс, то есть дадим ему некоторое приращение. Тогда икс, соответственный точке В, будет равен хb, а игрек соответственно уb. Приращение икса будет равно xb– xa; приращение игрека yb– yа– Проведем теперь секущую через точки А и В.
– 340 -
Если теперь поворачивать секущую около точки А по часовой стрелке, то в пределе она станет касательной. Построим треугольник ABC и рассмотрим, что с ним будет делаться, если поворачивать секущую около точки В. Очевидно, стороны
tgα называется производной "ординаты кривой по абсциссе" в точке с абсциссой xa
Уменьшается сторона АС, а вместе с ней и сторона ВС, то есть уменьшается приращение той и другой переменных и уменьшается непрерывно. В рассматриваемых здесь случаях отношение АС и ВС стремится к некоторому пределу, а секущая занимает свое предельное положение относительно кривой, то есть становится касательной. Когда АС бесконечно уменьшается, то и ВС уменьшается таким же образом. Обе эти переменные бесконечно уменьшающиеся приращения величин суть бесконечно малые, и нам тут необходимо найти предел, к которому стремится их отношение. Очевидно, что оно будет равно тангенсу угла, который образует касательная с положительным направлением оси абсцисс. Этим вопросом занимается дифференциальное исчисление; и тангенс наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс называется производной данной функции. Зная производную той или иной функции, узнают, с какой скоростью изменяются ординаты кривой при изменении абсцисс, и можно изучить эту скорость. А этим способом исследуют очень- многие законы физики, механики и других естественных наук. На этом фундаменте и выросла наша современная техника.
– Это замечательно!
– воскликнул Илюша.
– Только я не пойму: к какой кривой приводит тот или иной закон физики?
– Видишь ли, когда этим занялся Исаак Ньютон, которого современники называли "счастливейшим из смертных" за его открытие закона всемирного тяготения, то он, изучая скорость, с которой изменяются ординаты данной кривой, поставил два чрезвычайно важных и вполне естественных вопроса.
Он рассуждал так: если точка двигается с данной скоростью, это значит, что она в определенное время проходит некоторый путь. Будем называть икс временем, как это делал сам Ньютон. Тогда ординаты кривой дают нам пройденный путь.
– 341 -
Вот, например, если поезд идет с постоянной скоростью сорок километров в час, то за десять часов он пройдет 10-40 = 400 километров. Алгебраически это будет: скорость равна а, время равно х, пройденный путь у равен ах. Таким образом, уравнение пути будет у = ах. Это есть не что иное, как уравнение прямой линии. Если же скорость сама все время меняется пропорционально времени, то пройденный путь будет на чертеже изображаться не ординатой прямой, а ординатой параболы. Если же мы умеем построить к нашей кривой пройденного пути касательную, то тем самым можем определить скорость в каждой данной точке кривой или в любой момент времени. Таким образом, зная пройденный путь, мы находим скорость. Но можно поставить и обратную задачу; зная скорость, найти пройденный путь. Можно показать, что эта задача сводится к квадратуре кривой, то есть к определению ее площади, а это, как уже мы с тобой говорили, есть задача интегрирования. Так вот, таким путем Ньютон и выяснил, что нахождение касательной и определение площади суть действия, обратные друг другу, как обратны, например, возведение в степень и извлечение корня.
– Так вот, оказывается, как!
– воскликнул Илюша.
– Допустим, - продолжал Радикс, - что нам дано уравнение, которое показывает, какой скоростью обладает в каждый данный момент движущееся тело. Если мы сумеем сложить одну за другой все эти данные кривой моментальные скорости и получить их так называемую "начетную" кривую, то она и будет кривой пройденного пути.
Могу тебе это показать на простеньком примере. Это не будет ни дифференцирование, ни интегрирование, но нечто очень похожее на то и на другое.
Пусть некоторое тело движется с постоянным ускорением, равным двум сантиметрам в секунду, и пусть его средняя скорость в первую секунду равняется трем сантиметрам, а до этой секунды оно уже прошло один сантиметр. Требуется найти кривую пройденного пути. В таком случае нетрудно составить табличку. Кривая пройденного пути есть начетная кривая, то есть каждое число ее равно сумме всех предыдущих чисел кривой скорости, и, как легко заметить, она есть не что иное, как кривая квадратов натуральных чисел, то есть...