Волшебный двурог
Шрифт:
И тут Величайший Змий вырос снова перед ними. Он взглянул на Илюшу, и мальчику показалось, что это могущественное чудовище даже улыбнулось!
— 352 —
Схолия Семнадцатая,
в которой Илюша припоминает разные разности из предыдущих схолий, оставшиеся не совсем ясными, а Радикс рассказывает ему об истории надгробного камня Архимеда, погибшего от меча римского грабителя, о спирали Архимеда. Затем следует масса любопытнейших подробностей о веретенах, о шотландском сыре, о фокусах, которые придумали
— Ну, теперь ты доволен? — спросил Радикс.
— Да, — сказал Илюша, — я узнал массу интересных вещей. Теперь я, кажется, понимаю, почему так уважают Архимеда и как велико могущество Змия. Но только у меня есть еще вопросы.
— Ну что ж! Давай твои вопросы. Может быть, как-нибудь вдвоем разберемся.
— 353 —
— Помнишь, ты где-то, кажется в Схолии Одиннадцатой, перечислял мне титулы Величайшего Змия? Так вот, я хотел тебя спросить о них. О площадях я теперь понял: путем интегрирования можно получить площадь любой криволинейной фигуры. С объемами я тоже как будто сообразил. Это, вероятно, делается путем суммирования бесконечно тонких слоев тела, как Демокрит считал объем конуса?
— Правильно. А сейчас мы можем закончить вывод формулы для объема конуса, о которой мы толковали в Схолии Пятнадцатой. Если рассечь конус плоскостью, проходящей через его ось, то получится треугольник. Из рассмотрения этого треугольника ты убедишься в том, что радиус основания цилиндрика, отстоящего на расстояние h от вершины, определится при помощи пропорции:
r/R = h/H
где R — радиус основания, а H — высота конуса. Отсюда
r = (R/H)h
и площадь основания цилиндрика будет
r2 = (R2/H2) · h2
Теперь предположим, что мы делим высоту конуса на n частей. Тогда высота каждого цилиндрика будет H/n, а последовательные расстояния оснований цилиндриков от вершины конуса, то есть радиусы этих оснований, будут
h, 2h, 3h,… nh.
Поэтому
(R2/H2) · H/h (h2 + 22h2 + … + n2h2) = R2/H (12 + 22 + … + n2) / n3
Как и в предыдущей схолии, ты убедишься, что предел последнего множителя при неограниченном возрастании n будет равен 1/3 , и для объема конуса получается выражение:
1/3 R2H
— 354 —
Множитель 1/3 ты можешь рассматривать как лежащую на этой формуле печать Великого Змия.
— Как интересно! — сказал Илюша. — А с объемом шара можно справиться таким способом?
— Я приведу тебе только чертеж, который, по преданию, Архимед завещал вырезать на своем надгробном памятнике.
Здесь ты видишь цилиндр, вписанный в него шар радиуса R и конус. Разбей все три тела на тонкие «цилиндрические» слои и легко установишь, что на расстоянии h от центра шара площадь поперечного сечения самого шара равна:
(R2 — h2) = R2 — h2
то есть разности площадей поперечных сечений цилиндра и конуса. Суммируя объемы всех тонких цилиндрических пластинок и переходя к пределу, как мы это делали для конуса, находим, что и объем шара тоже будет равен разности объемов цилиндра и конуса. Этот закон и был открыт Архимедом. Таким путем можно найти не только объем всего шара, но и объем любого шарового слоя. В формулы войдет опять множитель 1/3 , печать Великого Змия, свидетельствующая о том, что здесь приходилось интегрировать функцию, содержащую квадрат переменной (в данном случае — квадрат высоты h).
— Очень хорошо! — отвечал мальчик. — А теперь вот еще что. Ты назвал Великого Змия развертывателем спиралей. Что это значит?
— Это значит, что путем интегрирования можно получить длину дуги любой кривой, например параболы, окружности и так далее. В частности, и длину спирали. Мы ведь уже говорили, как находится длина дуги.
— Но я должен сознаться, — вздохнув, сказал Илюша, — что до сих пор не пойму, как при помощи этой спирали получается длина окружности, то есть почти квадратура круга?