Вселенная
Шрифт:
Обновление базы знаний
Признав, что каждый из нас ориентируется на богатый набор априорных субъективных вероятностей, важно уточнять эти вероятности по мере поступления новой информации. Для этого нужно дать более строгую формулировку теоремы Байеса.
Вернёмся к нашей дружеской партии в покер. Мы знаем, какие карты у нас на руках, но не знаем карт оппонента. Таким образом, мы оказываемся в ситуации, когда возможны самые разные «посылки» (гипотезы об истинности чего-либо), и при этом имеем исчерпывающий список всех возможных посылок. В данном случае посылки соответствуют всем различным картам, которые могут прийти нашему сопернику в исходной покерной раздаче (ничего, пара, что-то лучше пары). Иными
Каждой рассматриваемой посылке мы присваиваем априорную субъективную вероятность. Для наглядности представим субъективные вероятности, разложив песчинки по баночкам. Каждая баночка соответствует определённой посылке, а число песчинок в баночке пропорционально субъективной вероятности, присваиваемой данной посылке. Субъективная вероятность суждения X — это просто доля общего числа песчинок, соответствующая числу песчинок, оказавшихся в баночке X:
Субъективная вероятность суждения X = Песчинки в баночке X / Песчинки во всех баночках
Назовём это «правилом песчинок».
Теорема Байеса указывает, как уточнять такие вероятности по мере поступления новой информации. Допустим, мы получили информацию в виде каких-то данных — например, узнали, сколько карт набрал соперник. Тогда из каждой баночки мы удаляем некоторое количество песка, соответствующее вероятности того, что мы не получили бы этой информации, окажись соответствующая посылка верной. Если мы считаем, что соперник заменит ровно одну карту всего в 10% случаев, если у него есть пара, то, как только он заменит одну карту, мы удаляем 90% песчинок из банки, на которой написано «пара». Затем проделываем аналогичную вещь со всеми остальными банками. В результате наше правило песчинок вновь подтверждается: субъективная вероятность посылки X равна числу песчинок в баночке X, делённому на общее число песчинок во всех баночках.
В ходе этой процедуры априорные субъективные вероятности перевзвешиваются и дают в итоге апостериорные субъективные вероятности. Можно начать с ситуации, когда в нескольких баночках содержится примерно поровну песчинок — это означает, что субъективные вероятности равны. Но затем мы получаем новую информацию, которая будет вероятна при одних посылках и маловероятна при других. Мы убираем совсем немного песка из тех баночек, для которых эта информация была вероятна, и много песка из тех, для которых маловероятна. Получается, что в баночках, которым соответствует наибольшая степень вероятности, скапливается больше песка — их апостериорная субъективная вероятность оказывается выше. Разумеется, если наша априорная субъективная вероятность для одной из посылок была гораздо выше, чем для альтернативных версий, то нам придётся удалить из «её» баночки очень большое количество песка (собрать много данных, кажущихся маловероятными при данной посылке), чтобы присущая данной посылке субъективная вероятность стала небольшой. Когда априорные показатели очень низки или очень высоки, нам понадобятся нетривиальные данные, чтобы эти субъективные вероятности изменились.
* * *
Рассмотрим другой пример: вы, старшеклассник, влюбились в девушку и хотите пригласить её на выпускной бал. Вопрос: она согласится или откажет? Итак, есть две разные посылки: «да» (она пойдёт с вами на выпускной бал) или «нет» (откажет), причём для каждой посылки есть субъективная априорная вероятность. Будем оптимистичны и присвоим субъективную вероятность 0,6 положительному ответу и 0,4 отрицательному (разумеется, общая субъективная вероятность всегда должна давать в сумме единицу). Ставим две баночки, в одну насыпаем 60 песчинок («да»), в другую — 40 («нет»). Общее число песчинок не имеет значения — важны лишь относительные пропорции.
Далее мы собираем информацию и на её
Допустим, к вашей радости, пассия останавливается и говорит: «Привет!». Каковы шансы, что она примет приглашение на выпускной бал? Преподобный Байес предписывает нам убрать 25% песчинок из банки «да» и 75% песчинок из банки «нет» (в обоих случаях это соответствует доле случаев, в которых наблюдаемый результат не состоялся бы). У нас осталось 60 x 0,75 = 45 песчинок в баночке «да» и 40 x 0,30 = 12 песчинок в баночке «нет». Согласно вышеприведённому правилу песчинок, уточнённая субъективная вероятность для «да» — это число песчинок в баночке «да» (45), делённое на общее число песчинок в обеих баночках (45 + 12 = 57). Получается 0,79.
Неплохо! Субъективная вероятность положительного ответа на приглашение повысилась с 60% (априорная) до 79% (апостериорная), притом что девушка просто остановилась и поздоровалась с вами! Думаю, уже надо костюмчиком озаботиться.
Однако постарайтесь уловить под грузом математических деталей основной посыл. В байесовской философии любая посылка (суждение) о мире, которая может быть истинной или ложной, получает априорную субъективную вероятность. Каждая такая посылка также сопровождается набором объективных вероятностей: шансов на истинность различных иных фактов при условии истинности данной посылки. Всякий раз, получая новую информацию, мы корректируем степень уверенности, умножая исходную субъективную вероятность на соответствующую объективную вероятность сделать такое наблюдение при условии истинности каждой из посылок. В виде формулы это выглядит следующим образом:
(Субъективная вероятность посылки X при наличии наблюдения D) ? (Шанс получить наблюдение D при посылке X) x (Априорная субъективная вероятность посылки X)
Это суть теоремы Байеса. Символ «?» означает «пропорционально». Он просто напоминает: нужно удостовериться в том, что все значения субъективной вероятности в сумме должны давать единицу.
* * *
В некоторых случаях кажется естественным задавать числовые значения субъективной вероятности: например, если речь идёт о покерных раздачах или подбрасывании монетки, где можно запросто подсчитать все возможности. Кроме того, о «вероятности» часто говорят, рассуждая о будущих событиях: «Вероятность того, что залётный астероид врежется в Землю и вызовет массовое вымирание, составляет менее одного процента».
Однако байесовский подход более универсален. Он напоминает о том, что мы присваиваем значения субъективной вероятности и корректируем их, обдумывая любое фактическое предположение о мире, которое может оказаться истинным или ложным. Есть ли Бог? Можно ли объяснить опыт наших внутренних переживаний в чисто физических терминах? Существуют ли объективные стандарты «правильного» или «неправильного»? Все возможные ответы на такие вопросы — это посылки, причём любому из них каждый человек присваивает ту или иную субъективную вероятность (хотя может этого и не признавать), которую корректирует по мере поступления новой информации (хотя может делать это и неправильно).