Введение в электронику

Гейтс Эрл Д.

empty-line/>

Счет в двоичной системе начинается с чисел 0 и 1. Как и в десятичной системе счисления, каждая двоичная цифра отличается от предыдущей на единицу. Сумма единицы и нуля дает единицу, а сумма двух единиц дает нуль, и при этом прибавляется единица в старшем разряде. На рис. 31-1 показана последовательность двоичных чисел, образованная по описанному алгоритму.

Рис. 31-1. Десятичные числа и эквивалентные двоичные числа.

Для

определения наибольшего значения, которое может быть представлено данным количеством разрядов с основанием 2, используйте следующую формулу:

Наибольшее число = 2ⁿ — 1,

где n — число битов (или число использованных значений разрядов).

_{ПРИМЕР: два бита могут быть использованы для счета от 0 до 3, так как}

_{2ⁿ – 1 = 2² – 1 = 4–1 = 3.}

_{Четыре бита необходимы для счета от 0 до 15, так как}

_{2ⁿ — 1 = 2⁴ — 1 = 16 — 1 = 15.}

31-1. Вопросы

1. В чем преимущество двоичной системы счисления перед десятичной при использовании в цифровых цепях?

2. Как определить наибольшее значение двоичного числа при заданном числе разрядов?

3. Каково наибольшее значение двоичного числа с:

а. 4 битами,

б. 8 битами,

в. 12 битами,

г. 16 битами.

31-2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДВОИЧНЫХ ЧИСЕЛ В ДЕСЯТИЧНЫЕ И НАОБОРОТ

Как установлено, двоичное число представляет собой число с весом каждого разряда. Значение двоичного числа может быть определено суммированием произведений каждой цифры на вес ее разряда. Метод вычисления двоичного числа показан на следующем примере:

_{ПРИМЕР:} 

_{Число 45 является десятичным эквивалентом двоичного числа 101101.}

_{Дробные числа также могут быть представлены в двоичной форме путем размещения двоичных цифр справа от двоичной запятой, так же как и десятичные цифры размещаются справа от десятичной запятой. Все цифры справа от запятой имеют вес, представленный отрицательными степенями 2 или дробными значениями разрядов.}

_{Степень 2 • Значение разряда}

_{2⁵ = 32}

_{2⁴ = 16}

_{2³ = 8}

_{2² = 4}

_{2¹ = 2}

_{2⁰ = 1}

_{десятичная}

запятая

_{2^{– 1} = 1/2¹ = 1/2 = 0,5}

_{2^{– 2} = 1/2² = 1/4 = 0,25}

_{2^{– 3} = 1/2³ = 1/8 = 0,125}

_{2^{– 4} = 1/2⁴ = 1/16 = 0,0625}

_{ПРИМЕР: Определить десятичное значение двоичного числа 111011,011.}

При работе с цифровым оборудованием часто бывает необходимо преобразовывать числа из двоичной системы в десятичную, и наоборот. Наиболее популярный способ преобразования десятичных чисел в двоичные — это последовательное деление десятичного числа на 2, с записью остатка после каждого деления. Остатки, взятые в обратном порядке, образуют двоичное число.

_{ПРИМЕР: Преобразовать 11 в двоичное число последовательным делением на 2. (Самый Младший Разряд).}

_{(1/2 = 0 означает, что 1 не делится на 2, так что 1 является остатком). Десятичное число 11 равно 1011 в двоичной системе.}

_{Этот процесс может быть упрощен путем записи чисел упорядоченным образом, как это показано на примере преобразования 25 в двоичное число.}

_{ПРИМЕР:}

_{Десятичное число 25 равно двоичному числу 11001. Дробные числа преобразовываются по другому: число умножается на 2 и целая часть записывается как двоичная дробь.}

_{ПРИМЕР: Преобразовать десятичную дробь 0,85 в двоичную дробь последовательным умножением на 2.}

_{Умножение на 2 продолжается до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность. Десятичная дробь 0,85 равна 0,110110 в двоичной форме.}

_{ПРИМЕР: Преобразовать десятичное число 20,65 в двоичное число. Разделите 20,65 на целую часть 20 и дробную 0,65 и примените описанные выше методы.}