Живая математика. Математические рассказы и головоломки
Шрифт:
Для примера рассмотрим хотя бы такой случай.
В провинциальный город с 50-тысячным населением приехал в 8 ч утра житель столицы и привез свежую, всем интересную новость. В гостинице, где приезжий остановился, он сообщил новость только трем местным жителям; это заняло, скажем, четверть часа.
Итак, в 8 1/4 ч утра новость была известна в городе всего только четверым: приезжему и трем местным жителям. Узнав интересную новость, каждый из трех граждан поспешил рассказать ее 3 другим. Это потребовало,
Рис. 60. Житель столицы привез интересную новость…
Каждый из 9 вновь узнавших поделился в ближайшие четверть часа с 3 другими гражданами, так что в 8 3/4 утра новость стала известна
13 + (3 х 9) = 40 гражданам.
Если слух распространяется по городу и далее таким же способом, т. е. каждый, узнавший новость, успевает в ближайшие четверть часа сообщить ее 3 согражданам, то осведомление города будет происходить по следующему расписанию:
Спустя полтора часа после первого появления в городе новости ее будут знать, как видим, всего около 1100 человек. Это, казалось бы, немного для населения в 50 000. Можно подумать, что новость не скоро еще станет известна всем жителям. Проследим, однако, далее за распространением слуха:
Рис. 61. В половине одиннадцатого все жители города осведомлены о новости, которая в 8 ч утра того же дня была известна лишь одному человеку
Еще спустя четверть часа будет осведомлено уже больше половины города:
9841 + (3 х 6561) = 29 524.
И, значит, к половине одиннадцатого того же дня поголовно все жители большого города будут осведомлены о новости, которая в 8 ч утра известна была только одному человеку.
Проследим теперь, как выполнен был предыдущий подсчет. Он сводился, в сущности, к тому, что мы сложили такой ряд чисел:
1 + 3 + (3 х 3) + (3 х 3 х 3) + (3 х 3 х 3 х 3) и т. д.
Нельзя ли узнать эту сумму как-нибудь короче, наподобие того, как определяли мы раньше сумму чисел ряда 1+2 + 4 + 8 и т. д.?
Это возможно, если принять в соображение следующую особенность складываемых здесь чисел:
1 = 1
3 = 1 х 2 + 1
9 = (1 + 3) х 2 + 1
27 = (1 + 3 + 9) х 2 + 1
81 = (1 + 3 + 9 + 27) х 2 + 1
и т. д.
Иначе говоря, каждое число этого ряда равно удвоенной сумме всех предыдущих чисел плюс единица.
Отсюда следует, что если нужно найти сумму всех чисел нашего ряда от 1 до какого-либо числа, то достаточно лишь прибавить к этому последнему числу
Например, сумма чисел
1 + 3 + 9 + 27 + 81 +243 + 729
равна 729 + половина от 728, т. е. 729 + 364 = 1093.
В нашем случае каждый житель, узнавший новость, передавал ее только трем гражданам. Но если бы жители города были еще разговорчивее и сообщали услышанную новость не 3, а, например, 5 или даже 10 другим, слух распространялся бы, конечно, гораздо быстрее. При передаче, например, пятерым картина осведомления города была бы такая:
Ранее чем в 9 3/4 ч утра новость будет уже известна всему 50-тысячному населению города.
Еще быстрее распространится слух, если каждый, услышавший новость, передаст о ней 10 другим. Тогда получим такой любопытный, быстро возрастающий, ряд чисел:
Следующее число этого ряда, очевидно, есть 111 111. Это показывает, что весь город узнает про новость уже в самом начале 10-го часа утра. Слух разнесется почти в один час!
В дореволюционные годы были у нас - а за рубежом, вероятно, и теперь еще находятся - предприниматели, которые прибегают к довольно оригинальному способу сбывать свой товар, обычно посредственного качества. Начинали с того, что в распространенных газетах и журналах печатали рекламу такого содержания:
Немало людей, конечно, соблазнялись заманчивым объявлением и просили прислать условия необычной покупки. В ответ на запрос они получали подробный проспект, из которого узнавали следующее.
За 10 руб. высылался пока не сам велосипед, а только 4 билета, которые надо было сбыть по 10 руб. своим четверым знакомым. Собранные таким образом 40 руб. следовало отправить фирме, и тогда лишь прибывал велосипед; значит, он обходился покупателю действительно всего в 10 руб., остальные 40 руб. уплачивались ведь не из его кармана. Правда, кроме уплаты 10 руб. наличными деньгами, приобретатель велосипеда имел некоторые хлопоты по продаже билетов среди знакомых, но этот маленький труд в счет не шел.
Что же это были за билеты? Какие блага приобретал за 10 руб. их покупатель? Он получал право обменять их у фирмы на 5 таких же билетов; другими словами, он приобретал возможность собрать 50 руб. для покупки велосипеда, который ему обходился, следовательно, только в 10 руб., т. е. в стоимость билета. Новые обладатели билетов, в свою очередь, получали от фирмы по 5 билетов для дальнейшего распространения и т. д.
На первый взгляд во всем этом не было обмана. Обещание рекламного объявления исполнялось; велосипед в самом деле обходился покупателям всего лишь в 10 руб. Да и фирма не оказывалась в убытке - она получала за свой товар полную его стоимость.