Живая математика. Математические рассказы и головоломки
Шрифт:
Рис. 47
Поле поисков теперь заметно сузилось. Мы знаем, например, что ни 12, ни 11 не могут занимать вершины звезды (почему?). Значит, испытания можно начинать с
10, причем сразу определяется, какие два числа должны занимать остальные вершины треугольника: 1 и 2. Подвигаясь таким путем далее, мы, наконец, разыщем требуемое расположение. Оно показано на рис. 47.
Глава шестая СЕКРЕТНАЯ ПЕРЕПИСКА ПОДПОЛЬЩИКОВ
Революционер-подпольщик
Желающие вести тайную переписку по этому способу запасаются каждый «решеткой», т. е. бумажным квадратиком с прорезанными в нем окошечками. Образчик решетки вы видите на рис. 48. Окошечки размещены не произвольно, а в определенном порядке, который станет ясен вам из дальнейшего.
Рис. 48. Решетка для секретной переписки
Пусть требуется послать товарищу такую записку: «Собрание делегатов района отмените.
Полиция кем-то предупреждена. Антон».
Наложив решетку на листок бумаги, подпольщик пишет сообщение букву за буквой в окошечках решетки. Так как окошек 16, то сначала помещается только часть записки:
Собрание делегато…
Сняв решетку, мы увидим запись, представленную на рис. 49.
Здесь, разумеется, ничего засекреченного пока нет: каждый легко поймет, в чем дело. Но это только начало; записка в таком виде не останется. Подпольщик поворачивает решетку «по часовой стрелке» на четверть оборота, т. е. располагает ее на том же листке так, что цифра 2, бывшая раньше сбоку, теперь оказывается вверху. При новом положении решетки все раньше написанные буквы заслонены, а в окошечках появляется чистая бумага. В них пишут следующие 16 букв секретного сообщения.
Рис. 49
Рис. 50
Если теперь убрать решетку, получим запись, показанную на рис. 50.
Такую запись не поймет не только посторонний человек, но и сам писавший, если позабудет текст своего сообщения.
Но записана пока только половина сообщения: Собрание делегатов района отмените. П…
Чтобы писать дальше, надо вновь повернуть решетку на четверть оборота по часовой стрелке. Она закроет все написанное и откроет новые 16 свободных клеток. В них найдут себе место еще несколько слов, и записка приобретет вид рис. 51.
Наконец делается последний поворот решетки - цифрой «4» вверх, и в открывшиеся 16 чистых квадратиков вписывают окончание записки. Так как остаются три неиспользованные клетки, их заполняют буквами а, б, в– просто для того, чтобы в записке не оказалось пробелов.
Письмо имеет вид, представленный на рис. 52.
Рис. 51
Попробуйте в нем что-нибудь разобрать! Пусть записка попадет в руки полиции, пусть полицейские сколько угодно подозревают, что в ней скрыто важное
Рис. 52
Рис. 53. Решетка в форме почтовой карточки
Как же прочтет адресат это секретное письмо? Он наложит свою решетку на текст, обратив ее цифрой «1» вверх, и выпишет те буквы, которые появятся в окошечках. Это будут первые 16 букв сообщения. Затем повернет решетку - и перед ним предстанут следующие 16 букв. После четвертого поворота вся секретная записка будет прочитана.
Вместо квадратной решетки можно пользоваться и прямоугольной в форме почтовой карточки, с широкими окошечками (рис. 53) - В окошечки такой решетки выписывают не отдельные буквы, а части слов, даже целые слова, если они помещаются. Не думайте, что запись окажется тогда более разборчивой. Нисколько! Хотя отдельные слоги и слова видны, но перемешаны они в таком нелепом беспорядке, что секрет достаточно надежно сохранен. Продолговатую решетку кладут сначала одним краем вверх, потом противоположным; после этого переворачивают ее на левую сторону и снова пользуются в двух положениях. В каждом новом положении решетка закрывает все написанное раньше.
Если бы возможна была только одна решетка, то способ переписки с ее помощью никуда не годился бы в смысле секретности. В руках полиции, конечно, имелась бы эта единственная решетка, и тайна немедленно раскрывалась бы. Но в том-то и дело, что число различных решеток чрезвычайно велико, и догадаться, какая была употреблена в дело, совершенно невозможно.
Все решетки, какие можно изготовить для 64-клеточного квадрата, отмечены на рис. 54- Вы можете выбрать для окошечек любые 16 клеток, заботясь лишь о том, чтобы в числе взятых клеток не было двух с одинаковыми номерами. Для той решетки, которой мы пользовались сейчас, взяты были следующие номера клеток:
Как видите, ни один номер не повторяется.
Понять систему расположения цифр в квадрате рис. 54 нетрудно. Он делится поперечными линиями на 4 меньших квадрата, которые обозначим для удобства римскими цифрами I, II, III, IV (рис. 55) - В I квадрате клетки перенумерованы в обычном порядке. Квадрат II- тот же квадрат I, только повернутый на четверть оборота вправо. Повернув его еще на четверть оборота, получаем квадрат III; при следующей четверти оборота получается квадрат IV.
Рис. 54. Свыше 4 миллиардов секретных решеток в одном квадрате
Рис. 55
Подсчитаем теперь математически, сколько может существовать разных решеток. Клетку № 1 можно взять (в качестве окошка) в 4 местах. В каждом случае можно присоединить клетку № 2, взяв ее также в 4 местах. Следовательно, два окошка можно наметить 4 х 4, т. е. 16 способами. Три окошка - 4 х 4 х 4, т. е. 64 способами. Рассуждая таким образом, устанавливаем, что 16 окошек можно набрать 416 способами (произведение 16 четверок). Число это превышает 4 миллиарда. Если даже считать наш расчет преувеличенным на несколько сот миллионов (так как неудобно пользоваться решетками с примыкающими друг к другу окошечками, и эти случаи надо исключить), то все же остается несколько тысяч миллионов решеток - целый океан, в котором нет надежды отыскать именно ту, какая требуется. Полиции не одолеть такого числового великана.