Живая математика. Математические рассказы и головоломки
Шрифт:
– Этот расчет немногим сложнее. Перечислим, какие здесь вообще возможны случаи. Во-первых, возможно, что оба прохожих будут мужчины. Во-вторых, что сначала покажется мужчина, за ним женщина. В-третьих, наоборот: что раньше появится женщина, потом мужчина. И, наконец, четвертый случай: оба прохожих - женщины. Итак, число всех возможных случаев - 4. Из них благоприятен, очевидно, только один случай - первый. Получаем для вероятности дробь 1/4. Вот ваша задача и решена.
– Понятно. Но можно поставить вопрос и о трех мужчинах: какова вероятность, что первые трое прохожих все окажутся мужчинами?
– Что же, вычислим и это. Начнем опять с подсчета возможных случаев. Для
в случае двух прохожих мы имели вероятность
в случае трех -
Рис. 88. Игральная кость
в случае четырех - вероятность равна произведению четырех половинок и т. д.
Вероятность все уменьшается, как видите.
– Чему же она равна, например, для десятка прохожих?
– То есть какова вероятность, что первые десять прохожих все кряду окажутся мужчинами? Вычислим, как велико произведение десяти половинок. Это - 1/1024, менее одной тысячной доли. Значит, если вы бьетесь об заклад, что это случится, и ставите 1 рубль, то я могу ставить 1000 рублей за то, что этого не произойдет,
– Выгодное пари, - заявил чей-то голос.
– Я бы охотно поставил рубль, чтобы получить возможность выиграть целую тысячу.
– Но имеется тысяча шансов против вашего одного, учтите и это.
– Ничего не значит. Я бы рискнул рублем против тысячи даже и за то, что сотня прохожих окажутся все подряд мужчинами.
– А вы представляете себе, как мала вероятность такого события?
– спросил математик.
– Одна миллионная или что-нибудь в этом роде?
– Неизмеримо меньше! Миллионная доля получится уже для 20 прохожих. Для сотни прохожих будем иметь… Дайте-ка я прикину на бумажке. Миллиардная… Триллионная… Квадриллионная… Ого! Вероятность равна единице, деленной на единицу с тридцатью нулями!
– Только и всего?
– Вам мало 30 нулей? Вы знаете, что в океане нет и тысячной доли такого числа мельчайших капелек?
– Внушительное число, что и говорить! Сколько же вы поставите против моей копейки?
– Ха-ха!… Все! Все, что у меня есть.
– Все - это слишком много. Ставьте на кон ваш велосипед. Ведь не поставите?
– Почему же нет? Пожалуйста! Пусть велосипед, если желаете. Я нисколько не рискую.
– И я не рискую. Невелика сумма копейка. Зато могу выиграть велосипед, а вы почти ничего.
– Да поймите же, что вы проиграете наверняка! Велосипед никогда не достанется, а копейка ваша, можно сказать, уже в моем кармане.
– Что вы делаете!
– удерживал математика приятель.
– Из-за копейки рискуете велосипедом. Безумие!
– Напротив, - ответил математик, - безумие ставить хотя бы одну копейку при таких условиях. Верный ведь проигрыш! Уж лучше прямо выбросить копейку.
– Но один-то шанс все же имеется?
– Одна капля в целом океане. В десяти
– Увлекаетесь, молодой человек, - раздался спокойный голос старика, все время молча слушавшего спор.
– Увлекаетесь…
– Как? И вы, профессор, рассуждаете по-обывательски?
– Подумали ли вы о том, что не все случаи здесь равновозможны? Расчет вероятности правилен лишь для каких событий? Для равновозможных, не так ли? А в рассматриваемом примере… Впрочем, - сказал старик, прислушиваясь, - сама действительность, кажется, сейчас разъяснит вам вашу ошибку. Слышна военная музыка, не правда ли?
– При чем тут музыка?… - начал было молодой математик и осекся. На лице его выразился испуг. Он сорвался с места, бросился к окну и высунул голову.
– Так и есть, - донесся его унылый возглас.
– Проиграно пари! Прощай, мой велосипед…
Через минуту всем стало ясно, в чем дело. Мимо окон проходил батальон красноармейской пехоты.
Нет надобности выискивать исключительные положения, чтобы встретиться с числовыми великанами. Они присутствуют всюду вокруг и даже внутри нас самих - надо лишь уметь рассмотреть их. Небо над головой, песок под ногами, воздух вокруг нас, кровь в нашем теле - все скрывает в себе невидимых великанов из мира чисел.
Числовые исполины небесных пространств для большинства людей не являются неожиданными. Хорошо известно, что зайдет ли речь о числе звезд Вселенной, об их расстояниях от нас и между собой, об их размерах, весе, возрасте - во всех случаях мы неизменно встречаемся с числами, подавляющими воображение своей огромностью. Недаром выражение «астрономическое число» сделалось крылатым.
Многие, однако, не знают, что даже и те небесные тела, которые астрономы часто называют «маленькими», оказываются настоящими великанами, если применить к ним привычную земную мерку. Существуют в нашей Солнечной системе планеты, которые ввиду их незначительных размеров получили у астрономов наименование «малых». Среди них имеются и такие, поперечник которых равен нескольким километрам. В глазах астронома, привыкшего к исполинским масштабам, они так малы, что, говоря о них, он пренебрежительно называет их «крошечными». Но они представляют собой «крошечные» тела только рядом с другими небесными светилами, еще более огромными; на обычную же человеческую мерку они далеко не миниатюрны. Поверхность самого мелкого из них могла бы вместить все население нашего Союза.
Возьмем «крошечную» планету с диаметром 3 км: такая планета недавно открыта. По правилам геометрии легко рассчитать, что поверхность такого тела заключает 28 кв. км, или 28 000 000 кв. м. На 1 квадратном метре могут поместиться стоя человек 6. Как видите, на 28 миллионах кв. м найдется место для 168 миллионов человек, т. е. для населения всего СССР [20] .
Песок, попираемый нами, также вводит нас в мир числовых исполинов. Каждая горсть мелкого песка заключает в себе не меньше отдельных песчинок, чем жителей в целом Союзе. Недаром сложилось издавна выражение «бесчисленны, как песок морской».
20
Нужно учесть, что данные эти относятся к 1930-м годам. К настоящему времени население республик бывшего СССР сильно выросло; более 147 миллионов человек живет теперь на территории одной только России. –Прим. ред.