Живая математика. Математические рассказы и головоломки
Шрифт:
84. Если модель легче натуры в 8 000 000 раз и обе сделаны из одного металла, то объем модели должен быть в 8 000 000 раз меньше объема натуры. Мы уже знаем, что объемы подобных тел относятся как кубы их высот. Следовательно, модель должна быть ниже натуры в 200 раз, потому что
200 х 200 х 200 = 8 000 000.
Высота подлинной башни 300 м. Отсюда высота модели должна быть равна
Модель будет почти в рост человека.
85. Обе кастрюли - тела геометрически подобные. Если большая кастрюля в 8 раз вместительнее, то все ее линейные размеры в два раза больше: она вдвое выше и вдвое
Но раз она вдвое выше и шире, то поверхность ее больше в 2 х 2, т. е. в 4 раза, потому что поверхности подобных тел относятся как квадраты линейных размеров. При одинаковой толщине стенок вес кастрюли зависит от величины ее поверхности. Отсюда имеем ответ на вопрос задачи: большая кастрюля вчетверо тяжелее меньшей.
86. Эта задача, на первый взгляд вовсе не математическая, решается, в сущности, тем же геометрическим рассуждением, какое применено было в предыдущей задаче. Прежде чем приступить к ее решению, рассмотрим сходную с ней, но несколько более простую задачу.
I
Два котла (или два самовара), большой и малый, одинакового материала и формы, наполнены кипятком. Какой остынет скорее?
Вещи остывают главным образом с поверхности: следовательно, остынет скорее тот котел, в котором на каждую единицу объема приходится большая поверхность. Если один котел в п раз выше и шире другого, то поверхность его больше в п 1 раз, а объем - в п3; на единицу поверхности в большем котле приходится в п раз больший объем. Следовательно, меньший котел должен остыть раньше. По той же причине и ребенок, стоящий на морозе, должен зябнуть больше, чем одинаково одетый взрослый: количество тепла, возникающего в каждом кубическом сантиметре тела, у обоих приблизительно одинаково, но остывающая поверхность тела, приходящаяся на каждый кубический сантиметр, у ребенка больше, чем у взрослого.
Также и пальцы рук или нос зябнут сильнее и отмораживаются чаще, чем другие части тела, поверхность которых не столь велика по сравнению с их объемом.
II
Сюда же, наконец, относится и следующая задача: почему лучина загорается скорее, чем толстое полено, от которого она отколота? Так как нагревание происходит с поверхности и распространяется на весь объем тела, то следует сравнить поверхность и объем лучины (например, квадратного сечения) с поверхностью и объемом полена той же длины и того же квадратного сечения, чтобы определить, какой величины поверхность приходится на 1 куб. см древесины в обоих случаях.
Если толщина полена в 10 раз больше толщины лучины, то боковая поверхность полена больше поверхности лучины тоже в 10 раз, объем же его больше объема лучины в 100 раз. Следовательно, на каждую единицу поверхности в лучине приходится вдесятеро меньший объем, чем в полене: одинаковое количество тепла нагревает в лучине вдесятеро меньше вещества, отсюда и более раннее воспламенение лучины, чем полена, от одного и того же источника тепла. (Ввиду дурной теплопроводности дерева, указанные соотношения следует рассматривать лишь как грубо приблизительные; они характеризуют лишь общий ход процесса, а не количественную сторону.)
87. При некотором усилии воображения задача эта, кажущаяся очень замысловатой, решается довольно просто. Предположим для простоты, что куски колотого сахара в поперечнике больше частичек песка в 100 раз. Представим себе теперь, что все частицы песка увеличились в поперечнике в 100 раз вместе со стаканом, в который песок насыпан. Вместимость стакана увеличится в 100 х 100 х 100, т. е. в миллион раз; во столько же раз увеличится и вес содержащегося в нем сахара. Отсыплем мысленно один нормальный стакан этого укрупненного песка, т. е. миллионную часть содержимого стакана-гиганта. Отсыпанное количество будет, конечно, весить столько, сколько весит обыкновенный стакан обыкновенного песка. Что же, однако, представляет собой отсыпанный нами укрупненный песок? Не что иное, как колотый сахар. Значит, колотого сахара в стакане заключается по весу столько же, сколько и песка. Если бы вместо стократного увеличения мы взяли шестидесятикратное или какое-нибудь другое - дело нисколько не изменилось бы. Суть рассуждения лишь в том, что куски колотого сахара рассматриваются как тела, геометрически подобные частицам сахарного песка и притом
Глава десятая ГЕОМЕТРИЯ ДОЖДЯ И СНЕГА
Принято считать Ленинград (ныне Санкт-Петербург.
– Прим. ред.) очень дождливым городом - городом, гораздо более дождливым, чем, например, Москва. Однако ученые говорят другое; они утверждают, что в Москве дожди приносят за год больше воды, чем в Ленинграде. Откуда они это знают? Можно разве измерить, сколько воды приносит дождь?
Это кажется трудной задачей, а между тем вы можете и сами научиться производить такой учет дождя. Не думайте, что для этого понадобится собрать всю воду, которая излилась на землю дождем. Достаточно измерить только толщину того слоя воды, который образовался бы на земле, если бы выпавшая вода не растекалась и не впитывалась в почву. А это совсем не так трудно сделать. Ведь когда идет дождь, то падает он на всю местность равномерно: не бывает, чтобы на одну грядку он принес больше воды, чем на соседнюю. Стоит поэтому измерить лишь толщину слоя дождевой воды на одной какой-нибудь площадке, и мы будем знать его толщину на всей площади, политой дождем. Теперь вы, вероятно, догадались, как надо поступить, чтобы измерить толщину слоя воды, выпавшей с дождем. Нужно устроить хотя бы один небольшой участок, где бы дождевая вода не впитывалась в землю и не растекалась. Для этого годится любой открытый сосуд, например ведро. Если у вас имеется ведро с отвесными стенками (чтобы просвет его вверху и внизу был одинаков), то выставьте его в дождь на открытое место [27] . Когда дождь кончится, измерьте высоту воды, накопившейся в ведре, и вы будете иметь все, что вам требуется для подсчетов. Займемся подробнее нашим самодельным «дождемером».
27
Ставить надо повыше, чтобы в ведро не попали брызги воды, разбрасываемые дождем при ударе о землю.
Как измерить высоту уровня воды в ведре? Вставить в него измерительную линейку? Но это удобно только в том случае, когда в ведре много воды. Если же слой ее, как обычно и бывает, не толще 2-3 см или даже миллиметров, то измерить толщину водяного слоя таким способом сколько-нибудь точно, конечно, не удастся. А здесь важен каждый миллиметр, даже каждая десятая его доля.
Как же быть?
Лучше всего перелить воду в более узкий стеклянный сосуд. В таком сосуде вода будет стоять выше, а сквозь прозрачные стенки легко видеть высоту уровня. Вы понимаете, что измеренная в узком сосуде высота воды не есть толщина того водяного слоя, который нам нужно измерить. Но легко перевести одно измерение в другое. Пусть диаметр донышка узкого сосуда ровно в десять раз меньше диаметра дна нашего ведра-дождемера. Площадь донышка будет тогда меньше, чем площадь дна ведра, в 10 х 10, т. е. в 100 раз. Понятно, что вода, перелитая из ведра, должна в стеклянном сосуде стоять в 100 раз выше. Значит, если в ведре толщина слоя дождевой воды была 2 мм, то в узком сосуде та же вода установится на уровне 200 мм, т. е. 20 см.
Вы видите из этого расчета, что стеклянный сосуд по сравнению с ведром-дождемером не должен быть очень узок - иначе его пришлось бы брать чересчур высоким. Вполне достаточно, если стеклянный сосуд уже ведра раз в 5; тогда площадь его дна в 25 раз меньше площади дна ведра и уровень перелитой воды поднимется во столько же раз. Каждому миллиметру толщины водяного слоя в ведре будут отвечать 25 мм высоты воды в узком сосуде. Хорошо поэтому наклеить на наружную стенку стеклянного сосуда бумажную полоску и на ней нанести через каждые 25 мм деления, обозначив их цифрами 1, 2, 3 и т. д. Тогда, глядя на высоту воды в узком сосуде, вы без всяких пересчетов будете прямо знать толщину водяного слоя в ведре-дождемере. Если поперечник узкого сосуда меньше поперечника ведра не в 5, а, скажем, в 4 раза, то деления надо наносить на стеклянной стенке через каждые 16 мм, и т. п.