Живой учебник геометрии

Перельман Яков Исидорович

Р е ш е н и е. Дуга составляет 3/4 окружности. Площадь соответствующего сектора – 200 кв. см., площадь его треугольной части = ? ?16 ?16 = 128 кв. см. Значит, искомая площадь = 200–128 = 70 кв. см.

XI. ПОДОБИЕ ФИГУР

§ 64. Подобие многоугольников

Сравнивая между собою фигуры, мы различали до сих пор только два случая: случай равенства фигур и случай их неравенства. Но возможен и третий случай, которого мы еще не рассматривали: фигуры не равны, а п о х о ж и, так что одна представляет уменьшенное п о д о б и е другой. Например, большой и малый квадрат не равны, но имеют совершенно одинаковую форму: один представляет подобие другого (черт. 185). Два равносторонних

треугольника, большой и малый, также имеют одинаковую форму (черт. 186).

Такие фигуры, которые имеют различную величину сторон, но одинаковы по форме, называются п о д о б-н ы м и фигурами.

В каком же случае считаем мы, что у двух фигур одинаковая форма? Рассмотрим этот вопрос для двух многоугольников. Для одинаковости формы многоугольники должны прежде всего иметь соответственно равные углы. Если углы одного многоугольника не равны углам другого, мы не назовем эти фигуры одинаковыми по форме (см. фигуры черт. 188). Значит, равенство углов одной фигуры углам другой есть необходимое условие для одинаковости их формы, т. е, для п о д о б и я этих фигур. Но д о с т а т о ч н о ли одного этого условия? Всякие ли две фигуры с соответственно равными углами имеют одинаковую форму? Взгляните на прямоугольники черт. 187. Углы прямоугольника I равны углам прямоугольника II, – однако, мы не скажем, что они одинаковой формы. Почему?

Потому что высота первого больше высоты второго в 2 раза, а основание первого больше основания второго в 5 раз. Стороны этих фигур, как говорят, не п р о п о р ц и о н а л ь н ы: из них нельзя составить пропорции (отношение двух из них не равно отношению двух других). Форма этих четырехугольников была бы одинакова только тогда, когда из их «сходственных» сторон (т. е. из сторон, прилегающих к равным углам) можно составить пропорцию

a/b – h/l

Короче мы можем высказать это условие подобия многоугольников так:

м н о г о у г о л ь н и к и п о д о б н ы, к о г д а и х с х о д с т в е н н ы е с т о р о н ы п р о п о р ц и о н а л ь н ы (т. е.

о т н о ш е н и е д в у х и з н и х р а в н о о т н о ш е н и ю д в у х д р у г и х). Стороны многоугольников могут быть пропорциональны и не будучи сходственными, т. е. не прилегая к равным углам. Например, на черт. 188 каждая сторона квадрата I вдвое длиннее каждой стороны ромба II; значит, стороны этих фигур пропорциональны. Но все-таки эти фигуры не подобны, потому что пропорциональные стороны их не прилегают к равным углам: они не сходственные.

Итак, для подобия, например, многоугольников ABCDE и A1B1C1D1E1 (черт. 189) необходимо:

чтобы

уг. A = уг. A1

уг. B = уг. B1

уг. C = уг. C1

уг. D = уг. D1

уг. E = уг. E1

и, во-вторых, чтобы

(А1– читается «А прим», или «А со знаком»).

§ 65. Подобие треугольников

Сейчас мы установили, что для подобия многоугольников необходимо равенство их углов и пропорциональность сходственных сторон (объясните, что это значит?). Теперь покажем, что для подобия т р е у г о л ь н и к о в достаточно одного лишь равенства углов, т. е., что в треугольнике с соответственно равными углами стороны пропорциональны.

Пусть нам известно, что

в треугольниках ABCи DEF (черт. 190) угол A= уг. D, уг. B = уг. E, а значит и третий угол C = углу F. Убедимся, что в таком случае стороны этих треугольников пропорциональны. Для этого перенесем мысленно треугольник ABCна DEFи положим его так, чтобы вершина В попала в Е, сторона ВА пошла по стороне ED, a BC– по EF. Третья сторона АС займет положение МN, и так как уг. А = уг. D, то MNляжет параллельно DE. В таком положении легко доказать, что стороны меньшего треугольника пропорциональны сторонам большего. Разделим сторону EDна такое число частей, чтобы одна из точек деления пришлась в М. Пусть между Е и М уместилось 2 таких части, а между М и D – 3. Проведем через точки деления прямые, параллельные DF. Эти параллельные (черт. 191) рассекут сторону EFтакже на равные части (почему? См. § 57): две части – между Е и Nи 3 части – между Nи F. Теперь ясно, что

ED/EM = 5/2 = EF/EN

Но так как EF= AB, a EN= BC, то

ED/AB = EF/BC

Значит, стороны ЕD, AB, EF и BC– пропорциональны.

Для подобия треугольников необходимо еще, чтобы и отношение третьей пары сторон DF: ACравнялось отношению ED: АВ (или EF: BC). Чтобы и в. этом удостовериться, проведем через точки деления стороны ED(черт. 192) ряд прямых, параллельных EF. Сторона MN разделится тогда на 2 равные части (почему?), a DF– на 5 таких же частей (почему?), и станет ясно, что

DE/AC=5/2=ED/AB=EF/BC

Итак, если углы одного треугольника равны углам другого, то стороны, прилегающие к равным углам (или лежащие против равных углов) пропорциональны.

П р и м е ч а н и е. Стороны треугольников могут иметь такую длину, что невозможно выполнить деление их, как указано было на черт. 191: ни одна точка деления не приходится в точке М. Однако, рассмотренное сейчас свойство сохраняется и в таком случае (это доказывается в более полных учебниках).

Мы сейчас доказали, что в двух треугольниках при равенстве, углов стороны должны быть пропорциональны. Покажем теперь, что и наоборот: при пропорциональности сторон треугольники имеют соответственно равные углы.

Это надо понимать так. Если длины сторон двух треугольников (напр. I и II на черт. 193) таковы, что

a/e = b/f = c/g

то угол против стороны aравен углу против стороны е, угол против b= углу против f, и угол против c = углу против g.