Живой учебник геометрии
Шрифт:
В этом легко убедиться, отложив (черт. 194) от вершины треугольника I на стороне а сторону е и проведя через конец ее прямую х, параллельную с. Она отсечет от треугольника I меньший треугольник III, стороны которого обозначим через е, х, у. Этот треугольник III имеет углы соответственно равные углам треугольника I. А мы сейчас доказали, что в таком случае
a/e=c/x=b/y
Нам
b/y=c/x=b/f=c/g
Но если
b/y=b/f
то y= f. А из равенства
c/x=c/g
следует, что x = g.
Другими словами: все стороны треугольника III равны сторонам треугольника II; а так как углы треугольника III равны углам треугольника I, то и углы треугольника II равны углам треугольника I. Это и требовалось доказать.
Повторительные вопросы к §§ 64 и 65
Как вы назовете фигуры, имеющие равные стороны и одинаковую форму? – Равные стороны и неодинаковую форму? Неравные стороны и одинаковую форму? – Какие стороны многоугольников называются сходственными? – Покажите, пользуясь чертежом, какие условия необходимы для подобия двух многоугольников. Покажите, пользуясь чертежом, какие соотношения существуют в двух подобных треугольниках. – Какие стороны подобных треугольников называются сходственными? А в каком случае стороны называются соответственными?
Применения
75. Найти высоту дерева, пользуясь его тенью.
Р е ш е н и е. Где-нибудь возле дерева воткнем отвесно шест MN(черт. 195). Так как лучи солнца параллельны, то уг. Р = уг. С; кроме того, мы знаем, что уг. В и уг. N– прямые. Значит, треугольники ABCи MNPподобны и, следовательно,
AB/MN = BC/NP
откуда неизвестная высота дерева
AB = MN ? BC/NP
Высоту шеста МN и длину теней DС и NPлегко измерить, и тогда вычисляют высоту АВ дерева.
76. В пасмурный день можно пользоваться для определения высоты дерева способом, изображенным на черт. 196. В чем он состоит?
Р е ш е н и е. Наблюдатель помещает шест DE так, чтобы глядя на конец его D видеть его совпадающим с вершиной A. Измеряют DЕ, НЕ и НВ, кроме того, надо знать возвышение GН глаза Gнад почвой. Из подобия треугольников GАС и GDF имеем
AC/DF = DC/GF.
Дальнейшее – понятно без объяснений.
77. На черт. 197 изображен способ определения ширины АВ озера. Прямая CDпровешивается параллельно АВ. Объясните, как найти искомую ширину (АВ)
Р е ш е н и е. Из подобия треугольников ABE и СDE имеем
AB/CD=BE/DE, откуда AB=CD BE/DE
так как длины CD, BE и DE можно измерить, то нетрудно вычислить искомую ширину (АВ) озера.
78. Диаметр Солнца больше диаметра Земли в 109 раз; расстояние от Земли до Солнца 150 000 000 километров. Определить длину тени, отбрасываемой земным шаром (черт. 198).
Р е ш е н и е. Из подобия треугольников АОЕ и СРЕ (почему они подобны?) имеем
PE/OE = PC/OC
РЕ – есть искомая длина х тени; DE= OP+ РЕ = 150 000 000 км + x; PC– радиус Земли; ОА – радиус Солнца. Мы знаем, что радиус Солнца в 109 раз больше радиуса Земли. Подставив эти величины в пропорцию, имеем
X/150 000 000 = 1/109
или 109х = 150 000 000 + x, откуда
x = 150 000 000/109 = около 1 400 000 км.
§ 66. Построение четвертой пропорциональной
На практике приходится нередко отыскивать отрезок такой длины, чтобы вместе с тремя данными отрезками могла быть составлена пропорция. Пусть, например, даны три отрезка а, b и с (черт. 199) и требуется отыскать четвертый отрезок х такой длины, чтобы возможна была пропорция:
а: b = с: х.
Задача эта решается так. На прямой линии (черт. 200) откладывают от точки М отрезки а и b. Под произвольным углом к а от точки М проводят прямую, на которой откладывают отрезок с. Концы N и Р отрезков а и с соединяют прямой и через конец Q отрезка b проводят QR параллельно NP. Отрезок MR и есть четвертая пропорциональная х, потому что
а: b = с: х.
Решение подобных задач называется «построением 4-й пропорциональной».
а: b = с: х.
Повторительные вопросы
Что значит: «построить 4-ую пропорциональную»? – Какие вы знаете способы ее построения?
Применения
79. Прямоугольник со сторонами а и h(черт. 201) превратить в равновеликий прямоугольник с основанием b.